複素数と方程式の問題

係数は $1,-7,14,-7,1$ で、左右対称になっています。このような方程式（相反方程式）は、$x^2$ で割ってから $t=x+\frac{1}{x}$ と置き換えると解けます。

手順1：$x\ne 0$ を確認する

$x=0$ を代入すると左辺は $1$ になり、$0$ になりません。したがって $x=0$ は解ではないので、両辺を $x^2$ で割ることができます。

手順2：$x^2$ で割って整理する

両辺を $x^2$ で割ると
$$x^2-7x+14-\frac{7}{x}+\frac{1}{x^2}=0$$
となります。対称な位置にある項どうしをまとめると
$$\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+14=0(1)$$
です。

手順3：$t=x+\frac{1}{x}$ と置く

$x\cdot \frac{1}{x}=1$ なので、対称式の公式より
$$x^2+\frac{1}{x^2}={\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2x\cdot \frac{1}{x}=t^2-2$$
です。これを $(1)$ に代入すると
$$(t^2-2)-7t+14=0$$
$$t^2-7t+12=0$$
$$(t-3)(t-4)=0$$
よって $t=3,4$ です。

手順4：$x$ にもどす

$x+\frac{1}{x}=t$ の両辺に $x$ を掛けると $x^2-tx+1=0$ です。

• $t=3$ のとき：$x^2-3x+1=0$ より $x=\frac{3\pm \sqrt{9-4}}{2}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$
• $t=4$ のとき：$x^2-4x+1=0$ より $x=2\pm \sqrt{4-1}=2\pm \sqrt{3}$

いずれも $0$ ではないので、すべて元の方程式の解です。

（確認：$(x^2-3x+1)(x^2-4x+1)=x^4-7x^3+14x^2-7x+1$ となり、元の式に一致します。）

したがって、求める解は
$$x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2},2\pm \sqrt{3}$$
です。

$x=0$ は解でないので、両辺を $x^2$ で割ると
$$x^2+\frac{1}{x^2}-7\left(x+\frac{1}{x}\right)+14=0$$
$t=x+\frac{1}{x}$ とおくと $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$ なので
$$t^2-2-7t+14=0⟺t^2-7t+12=0⟺(t-3)(t-4)=0$$
よって $t=3,4$。

(i) $t=3$ のとき: $x^2-3x+1=0$ より $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$。
(ii) $t=4$ のとき: $x^2-4x+1=0$ より $x=2\pm \sqrt{3}$。

検算: $x=2+\sqrt{3}$ のとき $\frac{1}{x}=2-\sqrt{3}$ なので $x+\frac{1}{x}=4$ となり、$t=4$ を満たす。また、$(x^2-3x+1)(x^2-4x+1)=x^4-7x^3+14x^2-7x+1$ と展開でき、元の式と一致する。

以上より、解は $x=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2},2\pm \sqrt{3}$ の 4 つ。