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複素数と方程式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル数学II 複素数と方程式

3 次方程式 $x^{3} + 2 x^{2} - x + 6 = 0$ の解を、複素数の範囲ですべて求めよ。

この問題で使うもの

剰余の定理・因数定理と高次方程式（説明と入口の問題）
複素数と 2 次方程式の虚数解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（22 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

因数定理を使って、方程式の左辺を 1 次式と 2 次式の積に因数分解しよう。

ヒント 2

解の候補は定数項 $6$ の約数 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ である。代入して $0$ になるものを探す。

ヒント 3

$x = - 3$ を代入すると左辺が $0$ になるので、左辺は $(x + 3) (x^{2} - x + 2)$ と因数分解できる。残りは 2 次方程式 $x^{2} - x + 2 = 0$ を解の公式で解く。

答えと解説

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- 3, \frac{1 + 7 i}{2}, \frac{1 - 7 i}{2}

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解説を読む

$P (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x + 6$ とおく。定数項 $6$ の約数 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ を順に代入して $P (x) = 0$ となるものを探すと
$P (- 3) = (- 27) + 2 \cdot 9 - (- 3) + 6 = - 27 + 18 + 3 + 6 = 0$
であるから、因数定理より $P (x)$ は $x + 3$ で割り切れる。

組立除法（または筆算）で $P (x)$ を $x + 3$ で割ると、商は $x^{2} - x + 2$ となる。実際
$(x + 3) (x^{2} - x + 2) = x^{3} - x^{2} + 2 x + 3 x^{2} - 3 x + 6 = x^{3} + 2 x^{2} - x + 6$
である。よって方程式は
$(x + 3) (x^{2} - x + 2) = 0$
となり、 $x + 3 = 0$ または $x^{2} - x + 2 = 0$ である。

$x + 3 = 0$ より $x = - 3$ 。

$x^{2} - x + 2 = 0$ を解の公式で解くと、判別式は $(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = - 7 < 0$ であるから
$x = \frac{1 \pm - 7}{2} = \frac{1 \pm 7 i}{2}$

したがって解は $x = - 3, \frac{1 + 7 i}{2}, \frac{1 - 7 i}{2}$ である。

別解

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} - x + 6$ とおくと $f (- 3) = - 27 + 18 + 3 + 6 = 0$ なので $x + 3$ を因数にもつ。
$f (x) = (x + 3) (x^{2} - x + 2)$ 。
$x^{2} - x + 2 = 0$ を解くと $x = \frac{1 \pm 1 - 8}{2} = \frac{1 \pm 7 i}{2}$ 。
検算: 解の和は $- 3 + \frac{1 + 7 i}{2} + \frac{1 - 7 i}{2} = - 3 + 1 = - 2$ で、解と係数の関係（和 $= - 2$ ）と一致。積は $- 3 \cdot 2 = - 6$ で、 $- 6$ と一致。

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