複素数と方程式の問題

手順 1：係数を読み取る。

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ と見比べると、$a=1,b=-3,c=2,d=4$ です。

手順 2：3 次方程式の解と係数の関係を使う。

$$\alpha +\beta +\gamma =-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3$$
$$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2$$
$$\alpha \beta \gamma =-\frac{d}{a}=-\frac{4}{1}=-4$$

(今回は $\alpha \beta \gamma$ は使いません。)

手順 3：求める式を基本対称式で表す。

3 変数の対称式の変形
$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )$$
を使います。

手順 4：値を代入する。

$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=3^2-2\cdot 2=9-4=5$$

よって、答えは $5$ です。

解と係数の関係より $\alpha +\beta +\gamma =3$、$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =2$、$\alpha \beta \gamma =-4$。
${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=9-4=5$。
検算：方程式は $x^3-3x^2+2x+4=(x+1)(x^2-4x+4+...)$ ではなく、$x=-1$ を代入すると $-1-3-2+4=-2\ne 0$ なので整数解の確認はできないが、各解が $x^3=3x^2-2x-4$ を満たすので、べき和 $p_1=3$、$p_2=e_1{p}_1-2e_2=9-4=5$ と一致する。複素数解を含んでも解と係数の関係は成り立つので、答えは 5。