複素数と方程式の問題

3 次方程式 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ の 3 つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とすると、解と係数の関係より
$$\alpha +\beta +\gamma =-\frac{b}{a},\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{c}{a},\alpha \beta \gamma =-\frac{d}{a}$$
が成り立つ。

与えられた方程式 $2x^3-4x^2+6x-3=0$ では $a=2,b=-4,c=6,d=-3$ である。よって
$$\alpha +\beta +\gamma =-\frac{-4}{2}=2,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{6}{2}=3$$
となる。

次に、求める式を $\alpha +\beta +\gamma$ と $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$ で表す。
$$(\alpha +\beta +\gamma {)}^2={\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2+2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )$$
であるから
$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )$$
となる。ここに上の値を代入すると
$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=2^2-2\cdot 3=4-6=-2$$
である。

（値が負になるのは、この方程式が虚数解をもつためであり、計算に誤りがあるわけではない。）

したがって、答えは $-2$ である。

解と係数の関係より、$\alpha +\beta +\gamma =-\frac{-4}{2}=2$、$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{6}{2}=3$、$\alpha \beta \gamma =\frac{3}{2}$。
${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=2^2-2\cdot 3=4-6=-2$。
検算：この方程式は実数解を 1 つ、虚数解を 2 つ持つので、平方和が負になっても矛盾しない。実際、$f(x)=2x^3-4x^2+6x-3$ について $f^{\prime }(x)=6x^2-8x+6$ の判別式は $64-144<0$ なので $f$ は単調増加で実数解は 1 つだけである。したがって虚数解が 2 つあり、平方和が負になりうる。