複素数と方程式の問題

手順 1：係数を読み取る

3 次方程式 $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ の 3 つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とすると、解と係数の関係は次のとおりである。
$$\alpha +\beta +\gamma =-\frac{b}{a},\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{c}{a},\alpha \beta \gamma =-\frac{d}{a}$$

$x^3-3x^2+2x+5=0$ では $a=1,b=-3,c=2,d=5$ である。

手順 2：解と係数の関係を使う

$$\alpha +\beta +\gamma =-\frac{-3}{1}=3$$
$$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{2}{1}=2$$

（$\alpha \beta \gamma =-5$ も得られるが、この問題では使わない。）

手順 3：対称式を基本対称式で表す

$(\alpha +\beta +\gamma {)}^2={\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2+2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )$ なので、
$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )$$

手順 4：値を代入する

$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=3^2-2\cdot 2=9-4=5$$

よって、答えは $5$ である。

解と係数の関係より $\alpha +\beta +\gamma =3$, $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =2$, $\alpha \beta \gamma =-5$。
よって ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=(\alpha +\beta +\gamma {)}^2-2(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )=3^2-2\cdot 2=9-4=5$。
検算：例えば $x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)$ の根の2乗和は $0+1+4=5$ で、定数項を変えても $x^2$ と $x$ の係数が同じなので2乗和は変わらず、5 と一致する。