3 次方程式の解と係数の関係

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の 3 解について $α + β + γ = - \frac{b}{a}$ , $α β + β γ + γ α = \frac{c}{a}$ , $α β γ = - \frac{d}{a}$ を使い、解の対称式の値を求められる

前提

2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
3 変数の対称式（数学I 数と式）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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2 変数の対称式（数学I 数と式）
2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
3 変数の対称式（数学I 数と式）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）

説明

3 次方程式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ （ $a \neq = 0$ ）の 3 つの解 $α, β, γ$ について、和 $α + β + γ$ 、2 つずつの積の和 $α β + β γ + γ α$ 、積 $α β γ$ を、方程式を解かずに係数だけから求められるようになります。これを 3 変数の対称式の変形と組み合わせると、 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ や $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$ のような式の値も計算できます。解が虚数を含んだり、具体的に求めにくかったりするときに特に役立ちます。

なぜそうしてよいのか

$P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ （ $a \neq = 0$ ）とし、 $α$ を $P (x) = 0$ の解とします。 $P (α) = 0$ なので、因数定理より $P (x) = (x - α) Q (x)$ と書けます。ここで $Q (x)$ は $x^{2}$ の係数が $a$ の 2 次式です。2 次方程式 $Q (x) = 0$ の 2 つの解（虚数解や重解もありえます）を $β, γ$ とすると、2 次方程式の解と係数の関係から $Q (x) = a {x^{2} - (β + γ) x + β γ} = a (x - β) (x - γ)$ です。したがって
$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - α) (x - β) (x - γ)$
が恒等式として成り立ちます。この $α, β, γ$ が 3 次方程式の 3 つの解です（重解は重なった個数だけ数えます）。

右辺を展開すると
$(x - α) (x - β) (x - γ) = x^{3} - (α + β + γ) x^{2} + (α β + β γ + γ α) x - α β γ$
となります。両辺の係数を比べると $b = - a (α + β + γ)$ 、 $c = a (α β + β γ + γ α)$ 、 $d = - a α β γ$ です。 $a \neq = 0$ なので $a$ で割ると
$α + β + γ = - \frac{b}{a}, α β + β γ + γ α = \frac{c}{a}, α β γ = - \frac{d}{a}$
が得られます。符号が $-, +, -$ と交互になるのは、展開した式で $(- α) (- β) (- γ)$ のようにマイナスが掛かる回数が 1 回、2 回、3 回と増えるからです。

手順

方程式を $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の形に整理し、 $a, b, c, d$ を読み取る（ない項の係数は $0$ ）。
解と係数の関係で 3 つの基本の値を求める： $α + β + γ = - \frac{b}{a}$ , $α β + β γ + γ α = \frac{c}{a}$ , $α β γ = - \frac{d}{a}$ 。
求めたい対称式を、和・2 つずつの積の和・積で表す（例： $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α)$ ）。
手順 2 の値を代入して計算する。

例題

3 次方程式 $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 5 = 0$ の 3 つの解を $α, β, γ$ とするとき、 $α^{2} + β^{2} + γ^{2}$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1： $a = 1, b = - 3, c = 2, d = 5$ です。
手順 2： $α + β + γ = - \frac{- 3}{1} = 3$ 、 $α β + β γ + γ α = \frac{2}{1} = 2$ 、 $α β γ = - \frac{5}{1} = - 5$ です。
手順 3： $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α)$ と表します。
手順 4：代入すると $3^{2} - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5$ です。
よって $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = 5$ です。

答え: $5$

よくある誤り

積を $α β γ = \frac{d}{a}$ としてしまう誤り。正しくは $α β γ = - \frac{d}{a}$ 。例えば $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 5 = 0$ では $α β γ = - 5$ 。
$x^{3}$ の係数 $a$ で割るのを忘れる誤り。例えば $2 x^{3} + 4 x^{2} - x + 6 = 0$ で $α + β + γ = - 4$ としてしまう。正しくは $α + β + γ = - \frac{4}{2} = - 2$ 、 $α β γ = - \frac{6}{2} = - 3$ 。
項が欠けている方程式で係数を読み違える誤り。例えば $x^{3} - 2 x + 1 = 0$ で $α + β + γ = 2$ としてしまう。正しくは $x^{2}$ の係数が $0$ なので $α + β + γ = 0$ 、 $α β + β γ + γ α = - 2$ 、 $α β γ = - 1$ 。
$α^{2} + β^{2} + γ^{2} = (α + β + γ)^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $α^{2} + β^{2} + γ^{2} = (α + β + γ)^{2} - 2 (α β + β γ + γ α)$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

根の多項式で表された元の最小多項式（大学院数学体論・ガロア理論）
判別式と 3 次多項式のガロア群（大学院数学体論・ガロア理論）