複素数と方程式の問題

解と係数の関係より
$$\alpha +\beta +\gamma =0,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-3,\alpha \beta \gamma =-1$$
である。

$x=0$ を代入すると $0-0+1=1\ne 0$ なので、$0$ は解ではない。よって $\alpha ,\beta ,\gamma$ はどれも $0$ ではない。

1つの因数を $\gamma$ だけで表す。
$\alpha +\beta +\gamma =0$ より $\alpha +\beta =-\gamma$、また $\alpha \beta \gamma =-1$ より $\alpha \beta =-\frac{1}{\gamma }$ である。したがって
$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta ={\gamma }^2+\frac{2}{\gamma }=\frac{{\gamma }^3+2}{\gamma }$$
となる。

$\gamma$ は $x^3-3x+1=0$ の解なので ${\gamma }^3=3\gamma -1$ が成り立つ。これを代入すると
$${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{3\gamma -1+2}{\gamma }=\frac{3\gamma +1}{\gamma }$$
となる。同様にして
$${\beta }^2+{\gamma }^2=\frac{3\alpha +1}{\alpha },{\gamma }^2+{\alpha }^2=\frac{3\beta +1}{\beta }$$
が得られる。

3つの因数を掛け合わせる。
$$({\alpha }^2+{\beta }^2)({\beta }^2+{\gamma }^2)({\gamma }^2+{\alpha }^2)=\frac{(3\alpha +1)(3\beta +1)(3\gamma +1)}{\alpha \beta \gamma }$$

分子を展開すると
$$\begin{array}{rl}(3\alpha +1)(3\beta +1)(3\gamma +1)& =27\alpha \beta \gamma +9(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )+3(\alpha +\beta +\gamma )+1\\ & =27\cdot (-1)+9\cdot (-3)+3\cdot 0+1\\ & =-27-27+0+1\\ & =-53\end{array}$$
となる。

よって
$$({\alpha }^2+{\beta }^2)({\beta }^2+{\gamma }^2)({\gamma }^2+{\alpha }^2)=\frac{-53}{-1}=53$$
である。

(確認) 3つの解は近似的に $1.532,0.347,-1.879$ である。これらから3つの因数を計算するとおよそ $2.468,3.653,5.879$ となり、その積は約 $53.00$ で、結果と一致する。

解と係数の関係より $\alpha +\beta +\gamma =0,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-3,\alpha \beta \gamma =-1$。

よって ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=0-2(-3)=6$。これより ${\alpha }^2+{\beta }^2=6-{\gamma }^2$ などが成り立ち、求める値は $(6-{\alpha }^2)(6-{\beta }^2)(6-{\gamma }^2)$ に等しい。

$f(x)=x^3-3x+1$ とおくと $f(x)=\prod (x-{\alpha }_i)$。
$f(x)f(-x)=(x^3-3x+1)(-x^3+3x+1)=1-(x^3-3x{)}^2$。
一方 $f(-x)=-\prod (x+{\alpha }_i)$ なので $f(x)f(-x)=-\prod (x^2-{\alpha }_i^2)$。
ゆえに $\prod (t-{\alpha }_i^2)=(t^3-3t{)}^2$ の形で $t=x^2$ とすると、$(x^3-3x{)}^2=x(x^2-3{)}^2=t(t-3{)}^2=t^3-6t^2+9t$ なので
$\prod (t-{\alpha }_i^2)=t^3-6t^2+9t-1$。

$t=6$ を代入して $216-216+54-1=53$。

検算：$t^3-6t^2+9t-1$ の $t^2$ の係数から平方和 $6$、定数項から ${\alpha }^2{\beta }^2{\gamma }^2=1$ で $(\alpha \beta \gamma {)}^2=1$ と一致する。

答えは $53$。