複素数と方程式の問題

$f(x)=x^3-2x^2+3x-5$ とおく。$x^3$ の係数が $1$ で、$\alpha ,\beta ,\gamma$ が $f(x)=0$ の解であるから、因数定理により
$$f(x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$$
と因数分解できる。

次に、2次方程式 $x^2+x+1=0$ の解の1つを $\omega$ とする。もう1つの解を ${\omega }^{\prime }$ とすると、解と係数の関係から $\omega +{\omega }^{\prime }=-1,\omega {\omega }^{\prime }=1$ である。

また $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ より ${\omega }^3=1$ である。さらに $({\omega }^2{)}^2+{\omega }^2+1={\omega }^4+{\omega }^2+1=\omega +{\omega }^2+1=0$ となるので、${\omega }^2$ も $x^2+x+1=0$ の解である。$\omega$ は実数でないから ${\omega }^2\ne \omega$ であり、${\omega }^{\prime }={\omega }^2$ とわかる。よって
$$x^2+x+1=(x-\omega )(x-{\omega }^2),{\omega }^3=1,{\omega }^2+\omega +1=0$$
が成り立つ。

したがって
$${\alpha }^2+\alpha +1=(\alpha -\omega )(\alpha -{\omega }^2)$$
であり、$\beta ,\gamma$ についても同様である。ゆえに、求める値を $P$ とすると
$$P=\{(\alpha -\omega )(\beta -\omega )(\gamma -\omega )\}\{(\alpha -{\omega }^2)(\beta -{\omega }^2)(\gamma -{\omega }^2)\}$$
となる。ここで
$$f(\omega )=(\omega -\alpha )(\omega -\beta )(\omega -\gamma )=-(\alpha -\omega )(\beta -\omega )(\gamma -\omega )$$
であり、同様に $f({\omega }^2)=-(\alpha -{\omega }^2)(\beta -{\omega }^2)(\gamma -{\omega }^2)$ である。符号 $(-1)\cdot (-1)=1$ が打ち消し合うので
$$P=f(\omega )f({\omega }^2)$$
となる。

$f(\omega )$ を計算する。${\omega }^3=1$ と ${\omega }^2=-1-\omega$ を用いると
$$f(\omega )={\omega }^3-2{\omega }^2+3\omega -5=1-2(-1-\omega )+3\omega -5=-2+5\omega$$
となる。

$f({\omega }^2)$ を計算する。$({\omega }^2{)}^3=({\omega }^3{)}^2=1$、$({\omega }^2{)}^2={\omega }^4=\omega$ より
$$f({\omega }^2)=1-2\omega +3{\omega }^2-5=-4-2\omega +3(-1-\omega )=-7-5\omega$$
となる。これは $-2+5{\omega }^2=-2+5(-1-\omega )=-7-5\omega$ と一致する。

よって
$$P=(-2+5\omega )(-2+5{\omega }^2)=4-10(\omega +{\omega }^2)+25{\omega }^3$$
である。$\omega +{\omega }^2=-1$、${\omega }^3=1$ を代入して
$$P=4+10+25=39$$
を得る。

$x^2+x+1=(x-\omega )(x-\bar{\omega })$ と因数分解できる。ここで $\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくと ${\omega }^3=1$、${\omega }^2+\omega +1=0$、$\bar{\omega }={\omega }^2$ である。

$p(x)=x^3-2x^2+3x-5=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$ とおく。

$\prod (\alpha -\omega )=-p(\omega )$、$\prod (\alpha -\bar{\omega })=-p(\bar{\omega })$ なので、求める値は
$$\prod ({\alpha }^2+\alpha +1)=p(\omega )p(\bar{\omega })=|p(\omega ){|}^2.$$

$p(\omega )={\omega }^3-2{\omega }^2+3\omega -5=1-2{\omega }^2+3\omega -5$。${\omega }^2=-1-\omega$ を代入すると
$$p(\omega )=-4+3\omega +2+2\omega =-2+5\omega .$$

$|a+b\omega {|}^2=a^2-ab+b^2$ より、$a=-2,b=5$ として
$$|p(\omega ){|}^2=4+10+25=39.$$

検算：$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ を代入すると $-2+5\omega =-\frac{9}{2}+\frac{5\sqrt{3}}{2}i$。$|\cdot {|}^2=\frac{81}{4}+\frac{75}{4}=39$ となり一致する。