技能一覧 › 数学II 複素数と方程式

1 の 3 乗根 $\omega$

$x^3=1$ の虚数解 $\omega$ について ${\omega }^3=1$, ${\omega }^2+\omega +1=0$ を使い、${\omega }^{100}+{\omega }^{50}$ のような式の値を求められる

前提

• 複素数と 2 次方程式の虚数解 （数学II 複素数と方程式）
• 3 次式までの展開と因数分解 （数学I 数と式）

説明

なぜそうしてよいのか

手順

1. $\omega$ の指数 $n$ を 3 で割り、$n=3q+r$（$r=0,1,2$）の形にする

2. ${\omega }^3=1$ を使って ${\omega }^n=({\omega }^3{)}^q{\omega }^r={\omega }^r$ と指数を小さくし、式全体を $1,\omega ,{\omega }^2$ で表す

3. ${\omega }^2+\omega +1=0$ を使って式を整理する（${\omega }^2+\omega =-1$、${\omega }^2=-\omega -1$ などの形に変えて代入する）

例題

よくある誤り

• ${\omega }^2+\omega +1=0$ を $x^3=1$ のすべての解で成り立つとしてしまう誤り。正しくは、$x=1$ では $1^2+1+1=3\ne 0$ なので成り立たず、$\omega$ が虚数（$\omega \ne 1$）だから成り立つ式です。

• ${\omega }^{100}=({\omega }^3{)}^{33}\cdot \omega$ を $3^{33}\omega$ のように計算してしまう誤り。正しくは ${\omega }^3=1$ なので $({\omega }^3{)}^{33}=1^{33}=1$ で、${\omega }^{100}=\omega$ です。

• 指数の余りを取り違えて ${\omega }^{50}=\omega$ としてしまう誤り。正しくは $50=3\cdot 16+2$ で余りは 2 なので、${\omega }^{50}={\omega }^2$ です。

• ${\omega }^2+\omega +1=0$ を移項するときに符号を誤り、${\omega }^2=\omega +1$ としてしまう誤り。正しくは ${\omega }^2=-\omega -1$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  方程式 $x^3=1$ の虚数解の 1 つを $\omega$ とする。このとき、${\omega }^{32}+{\omega }^{16}$ の値を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  $\omega$ を方程式 $x^3=1$ の虚数解の 1 つとする。このとき、$${\omega }^{101}+{\omega }^{52}$$ の値を求めよ。

• 難易度 1（教科書の例題レベル）

  方程式 $x^3=1$ の虚数解の 1 つを $\omega$ とする。このとき、${\omega }^{31}+{\omega }^{17}$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

• 難易度 4（国公立二次の標準レベル）

  $i$ を虚数単位とし、$\alpha =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ とする。このとき
  $$(1+\alpha {)}^{11}+(1-\alpha {)}^{11}$$
  の値を $a+bi$（$a,b$ は実数）の形で求めよ。

• 難易度 4（国公立二次の標準レベル）

  3次方程式 $x^3-2x^2+3x-5=0$ の3つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とする。このとき
  $$({\alpha }^2+\alpha +1)({\beta }^2+\beta +1)({\gamma }^2+\gamma +1)$$
  の値を求めよ。