複素数と方程式の問題

手順 1：$\omega$ が満たす 2 つの式を確認する

$\omega$ は $x^3=1$ の解なので
$${\omega }^3=1(1)$$
が成り立つ。

また、$x^3-1=0$ を因数分解すると
$$(x-1)(x^2+x+1)=0$$
となる。$\omega$ は虚数なので $\omega \ne 1$ であり、$\omega$ は $x^2+x+1=0$ の解である。よって
$${\omega }^2+\omega +1=0(2)$$
が成り立つ。

手順 2：${\omega }^3=1$ を使って次数を下げる

$31=3\times 10+1$ なので、$(1)$ より
$${\omega }^{31}=({\omega }^3{)}^{10}\cdot \omega =1^{10}\cdot \omega =\omega$$
$17=3\times 5+2$ なので
$${\omega }^{17}=({\omega }^3{)}^5\cdot {\omega }^2=1^5\cdot {\omega }^2={\omega }^2$$

手順 3：${\omega }^2+\omega +1=0$ を使って値を求める

$${\omega }^{31}+{\omega }^{17}=\omega +{\omega }^2$$
$(2)$ より ${\omega }^2+\omega =-1$ なので
$${\omega }^{31}+{\omega }^{17}=-1$$

（$\omega$ は $\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$、$\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ のどちらであっても、$(1)$, $(2)$ はともに成り立つので、値は $-1$ に決まる。）

$\omega$ は $x^3=1$ の虚数解なので、$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$ より ${\omega }^2+\omega +1=0$、かつ ${\omega }^3=1$ である。
${\omega }^{31}=({\omega }^3{)}^{10}\cdot \omega =\omega$、${\omega }^{17}=({\omega }^3{)}^5\cdot {\omega }^2={\omega }^2$。
よって ${\omega }^{31}+{\omega }^{17}=\omega +{\omega }^2=-1$。
検算: $\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とすると ${\omega }^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ で、和は $-1$。もう一方の虚数解でも同様に $-1$。