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複素数と方程式の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 複素数と方程式

2 次方程式 $3 x^{2} - 6 x + 2 = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とする。このとき、 $α^{2} + β^{2}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

2 次方程式の解と係数の関係（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 次方程式の解と係数の関係を使って、 $α + β$ と $α β$ の値を求めましょう。 $x^{2}$ の係数が $1$ でないことに注意します。

ヒント 2

$α + β = - \frac{b}{a}$ 、 $α β = \frac{c}{a}$ です。また、 $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ と変形できます。

ヒント 3

$α + β = 2$ 、 $α β = \frac{2}{3}$ です。これを $(α + β)^{2} - 2 α β$ に代入しましょう。

答えと解説

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\frac{8}{3}

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解説を読む

手順 1：係数を確認する

$a x^{2} + b x + c = 0$ と見比べると、 $a = 3, b = - 6, c = 2$ です。

手順 2：解と係数の関係を使う

2 つの解 $α, β$ について
$α + β = - \frac{b}{a} = - \frac{- 6}{3} = 2, α β = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$
です。

手順 3：求める式を $α + β$ と $α β$ で表す

$α^{2} + β^{2}$ は対称式なので
$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$
と変形できます。

手順 4：値を代入する
$α^{2} + β^{2} = 2^{2} - 2 \cdot \frac{2}{3} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

よって、答えは $\frac{8}{3}$ です。

（解を直接求めなくても、解と係数の関係から和と積がわかれば値が求まります。）

別解

解と係数の関係より $α + β = \frac{6}{3} = 2$ , $α β = \frac{2}{3}$ 。よって $α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ 。検算：判別式 $36 - 24 = 12 > 0$ より解は $x = \frac{3 \pm 3}{3} = 1 \pm \frac{3}{3}$ 。 $α^{2} + β^{2} = 2 (1 + \frac{1}{3}) = \frac{8}{3}$ で一致する。

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