複素数と方程式の問題

2 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の 2 つの解を $\alpha ,\beta$ とすると、解と係数の関係により
$$\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}$$
が成り立ちます。

手順 1：解と係数の関係を使う

$2x^2-6x+3=0$ では $a=2,b=-6,c=3$ なので
$$\alpha +\beta =-\frac{-6}{2}=3,\alpha \beta =\frac{3}{2}$$

手順 2：${\alpha }^2+{\beta }^2$ を $\alpha +\beta$ と $\alpha \beta$ で表す

${\alpha }^2+{\beta }^2$ は対称式なので
$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$$
と表せます。

手順 3：値を代入する
$${\alpha }^2+{\beta }^2=3^2-2\cdot \frac{3}{2}=9-3=6$$

よって、${\alpha }^2+{\beta }^2=6$ です。

（解を実際に求めなくても、解と係数の関係から $\alpha +\beta$ と $\alpha \beta$ がわかれば、対称式の値を求めることができます。）

解と係数の関係より $\alpha +\beta =3$、$\alpha \beta =\frac{3}{2}$。よって ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =9-3=6$。検算：判別式 $D=36-24=12>0$ なので解は実数で、$x=\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}$。${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{(3+\sqrt{3}{)}^2+(3-\sqrt{3}{)}^2}{4}=\frac{12+12}{4}\cdot$ ではなく、$(12+6\sqrt{3})+(12-6\sqrt{3})=24$ を 4 で割って $6$。一致する。