複素数と方程式の問題

手順 1：$\omega$ が満たす 2 つの式を用意する。

$\omega$ は $x^3=1$ の解なので
$${\omega }^3=1$$
が成り立つ。

また、$x^3-1=0$ は因数分解の公式により
$$(x-1)(x^2+x+1)=0$$
と変形できる。$\omega$ は虚数なので $\omega \ne 1$ であり、$\omega$ は $x^2+x+1=0$ の解である。よって
$${\omega }^2+\omega +1=0\text{すなわち}{\omega }^2+\omega =-1$$
が成り立つ。

手順 2：${\omega }^3=1$ を使って次数を下げる。

指数を 3 で割ると、$32=3\cdot 10+2$、$16=3\cdot 5+1$ である。したがって
$${\omega }^{32}=({\omega }^3{)}^{10}\cdot {\omega }^2=1^{10}\cdot {\omega }^2={\omega }^2$$
$${\omega }^{16}=({\omega }^3{)}^5\cdot \omega =1^5\cdot \omega =\omega$$
となる。

手順 3：${\omega }^2+\omega +1=0$ を使う。

$${\omega }^{32}+{\omega }^{16}={\omega }^2+\omega =-1$$

よって、求める値は $-1$ である。

$x^3=1$ の虚数解 $\omega$ は ${\omega }^2+\omega +1=0$ を満たし、${\omega }^3=1$ である。
$32=3\cdot 10+2$ より ${\omega }^{32}=({\omega }^3{)}^{10}{\omega }^2={\omega }^2$。
$16=3\cdot 5+1$ より ${\omega }^{16}=({\omega }^3{)}^5\omega =\omega$。
よって ${\omega }^{32}+{\omega }^{16}={\omega }^2+\omega =-1$。
検算：$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ のとき ${\omega }^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ で、和は $-1$。もう一方の虚数解でも同様に $-1$。