複素数と方程式の問題

手順 1：解と係数の関係で $\alpha +\beta$ と $\alpha \beta$ を求める。

2 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ の 2 つの解を $\alpha ,\beta$ とすると
$$\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}$$
が成り立つ。$2x^2+4x-3=0$ では $a=2,b=4,c=-3$ なので
$$\alpha +\beta =-\frac{4}{2}=-2,\alpha \beta =\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$$
となる。

手順 2：${\alpha }^2+{\beta }^2$ を $\alpha +\beta$ と $\alpha \beta$ で表す。

${\alpha }^2+{\beta }^2$ は $\alpha ,\beta$ の対称式なので
$${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta$$
と変形できる。

手順 3：値を代入する。
$${\alpha }^2+{\beta }^2=(-2{)}^2-2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=4+3=7$$

（確かめ：解の公式より $x=\frac{-2\pm \sqrt{10}}{2}$ であり、${\left(\frac{-2+\sqrt{10}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{-2-\sqrt{10}}{2}\right)}^2=\frac{14-4\sqrt{10}}{4}+\frac{14+4\sqrt{10}}{4}=7$ となり一致する。）

よって、答えは $7$ である。

解と係数の関係より $\alpha +\beta =-\frac{4}{2}=-2$, $\alpha \beta =-\frac{3}{2}$。よって ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =4-2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=4+3=7$。検算：解は $x=\frac{-2\pm \sqrt{4+6}}{2}=\frac{-2\pm \sqrt{10}}{2}$。${\alpha }^2+{\beta }^2=\frac{(4-4\sqrt{10}+10)+(4+4\sqrt{10}+10)}{4}=\frac{28}{4}=7$。