複素数と方程式の問題

手順 1：$\omega$ が満たす 2 つの式を求める

$\omega$ は $x^3=1$ の解なので、
$${\omega }^3=1(1)$$
が成り立つ。

また、$x^3-1=0$ の左辺を因数分解すると
$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$
となる。$\omega$ は虚数なので $\omega \ne 1$ であり、$\omega -1\ne 0$ である。したがって $\omega$ は $x^2+x+1=0$ の解であり、
$${\omega }^2+\omega +1=0(2)$$
が成り立つ。

手順 2：$(1)$ を使って次数を下げる

$101=3\times 33+2$ なので、
$${\omega }^{101}=({\omega }^3{)}^{33}\cdot {\omega }^2=1^{33}\cdot {\omega }^2={\omega }^2$$

$52=3\times 17+1$ なので、
$${\omega }^{52}=({\omega }^3{)}^{17}\cdot \omega =1^{17}\cdot \omega =\omega$$

手順 3：$(2)$ を使って値を求める

$${\omega }^{101}+{\omega }^{52}={\omega }^2+\omega$$
$(2)$ より ${\omega }^2+\omega =-1$ であるから、
$${\omega }^{101}+{\omega }^{52}=-1$$

よって、求める値は $-1$ である。

$\omega$ は $x^3=1$ の虚数解なので ${\omega }^3=1$ であり、${\omega }^2+\omega +1=0$ が成り立つ。
$101=3\cdot 33+2$ より ${\omega }^{101}=({\omega }^3{)}^{33}{\omega }^2={\omega }^2$。
$52=3\cdot 17+1$ より ${\omega }^{52}=({\omega }^3{)}^{17}\omega =\omega$。
よって ${\omega }^{101}+{\omega }^{52}={\omega }^2+\omega =-1$。
検算：$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ のとき ${\omega }^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ なので、和は $-1$ となり確かに一致する。もう一方の虚数解でも同様に $-1$。