複素数と方程式の問題

$\alpha$ のみたす式

$\alpha =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ と、その共役な複素数 $\overline{\alpha }=\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ について、
$$\alpha +\overline{\alpha }=1,\alpha \overline{\alpha }=\frac{1+3}{4}=1$$
である。よって $\alpha$ は $x^2-x+1=0$ の解であり、
$${\alpha }^2=\alpha -1(1)$$
が成り立つ。${\alpha }^2-\alpha +1=0$ の両辺に $\alpha +1$ を掛けると ${\alpha }^3+1=0$ となるので、
$${\alpha }^3=-1(2)$$
である。

$(1+\alpha {)}^{11}$ の計算

$(1)$ を用いると
$$(1+\alpha {)}^2=1+2\alpha +{\alpha }^2=1+2\alpha +(\alpha -1)=3\alpha$$
である。よって
$$(1+\alpha {)}^{10}={\left\{(1+\alpha {)}^2\right\}}^5=(3\alpha {)}^5=243{\alpha }^5$$
となる。$(2)$ と $(1)$ より
$${\alpha }^5={\alpha }^3\cdot {\alpha }^2=-{\alpha }^2=-(\alpha -1)=1-\alpha$$
である。したがって
$$(1+\alpha {)}^{11}=243(1-\alpha )(1+\alpha )=243(1-{\alpha }^2)$$
となり、$(1)$ を代入すると
$$243(1-{\alpha }^2)=243\{1-(\alpha -1)\}=243(2-\alpha )$$
を得る。

$(1-\alpha {)}^{11}$ の計算

$(1)$ より $1-\alpha =-{\alpha }^2$ である。よって
$$(1-\alpha {)}^{11}=(-1{)}^{11}{\alpha }^{22}=-{\alpha }^{22}$$
となる。$(2)$ より
$${\alpha }^{22}=({\alpha }^3{)}^7\cdot \alpha =(-1{)}^7\alpha =-\alpha$$
であるから、
$$(1-\alpha {)}^{11}=\alpha$$
である。

和の計算

$$(1+\alpha {)}^{11}+(1-\alpha {)}^{11}=243(2-\alpha )+\alpha =486-242\alpha$$
ここで $\alpha =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ を代入すると、
$$486-242\cdot \frac{1+\sqrt{3}i}{2}=486-121-121\sqrt{3}i=365-121\sqrt{3}i$$
となる。

答え $365-121\sqrt{3}i$

$\alpha =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}$ である。

$1+\alpha =\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ なので、$|1+\alpha {|}^2=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=3$、偏角は $\tan \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$ より $\frac{\pi }{6}$ である。よって $1+\alpha =\sqrt{3}\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$。

ド・モアブルの定理より
$(1+\alpha {)}^{11}=3^{11/2}\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)=243\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=\frac{729}{2}-\frac{243\sqrt{3}}{2}i$。

$1-\alpha =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$ なので、
$(1-\alpha {)}^{11}=\cos \left(-\frac{11\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{11\pi }{3}\right)$。$-\frac{11\pi }{3}+4\pi =\frac{\pi }{3}$ なので、これは $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ に等しい。

和は、実部が $\frac{729}{2}+\frac{1}{2}=365$、虚部が $\frac{\sqrt{3}}{2}(1-243)=-121\sqrt{3}$ である。

したがって $365-121\sqrt{3}i$。

検算として、$1+\alpha$ の絶対値と偏角は上で確かめた。また $1-\alpha =\bar{\alpha }$ なので $(1-\alpha {)}^{11}={\bar{\alpha }}^{11}={\alpha }^{-11}=\alpha$（${\alpha }^6=1$ より ${\alpha }^{-11}={\alpha }^1$）となり、上の結果と一致する。