複素数と方程式の問題

$f(x)=x^3+x^2+2x-1$ とおく。解と係数の関係より
$$\alpha +\beta +\gamma =-1,\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =2,\alpha \beta \gamma =1$$
である。

まず $f(0)=-1\ne 0$ なので、$\alpha ,\beta ,\gamma$ はどれも $0$ ではない。

因数 ${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2$ を $\gamma$ だけで表す。$\alpha +\beta =-1-\gamma$、$\alpha \beta =\frac{1}{\gamma }$ であるから
$${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-\alpha \beta =(\gamma +1{)}^2-\frac{1}{\gamma }=\frac{{\gamma }^3+2{\gamma }^2+\gamma -1}{\gamma }$$
となる。

$\gamma$ は方程式の解なので ${\gamma }^3=-{\gamma }^2-2\gamma +1$ が成り立つ。これを分子に代入すると
$${\gamma }^3+2{\gamma }^2+\gamma -1=(-{\gamma }^2-2\gamma +1)+2{\gamma }^2+\gamma -1={\gamma }^2-\gamma$$
である。よって
$${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=\frac{{\gamma }^2-\gamma }{\gamma }=\gamma -1$$
となる。

文字を入れかえて同じ計算をすると
$${\beta }^2+\beta \gamma +{\gamma }^2=\alpha -1,{\gamma }^2+\gamma \alpha +{\alpha }^2=\beta -1$$
も成り立つ。したがって、求める値は $(\alpha -1)(\beta -1)(\gamma -1)$ に等しい。

ここで $f(x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$ であるから
$$f(1)=(1-\alpha )(1-\beta )(1-\gamma )=-(\alpha -1)(\beta -1)(\gamma -1)$$
となる。$f(1)=1+1+2-1=3$ なので
$$(\alpha -1)(\beta -1)(\gamma -1)=-f(1)=-3$$
である。

(別解として、$(\alpha -1)(\beta -1)(\gamma -1)=\alpha \beta \gamma -(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )+(\alpha +\beta +\gamma )-1=1-2-1-1=-3$ と展開して求めてもよい。)

よって、求める値は $-3$ である。

基本対称式は $\alpha +\beta +\gamma =-1$、$\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =2$、$\alpha \beta \gamma =1$ である。

${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-\alpha \beta$ と変形する。$\alpha +\beta =-1-\gamma$、$\alpha \beta =1/\gamma$ ($\gamma \ne 0$ は $\alpha \beta \gamma =1$ より成り立つ)なので
$${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=(1+\gamma {)}^2-\frac{1}{\gamma }=\frac{{\gamma }^3+2{\gamma }^2+\gamma -1}{\gamma }.$$
${\gamma }^3=-{\gamma }^2-2\gamma +1$ を代入すると分子は ${\gamma }^2-\gamma$ となる。よって ${\alpha }^2+\alpha \beta +{\beta }^2=\gamma -1$ である。

同様に ${\beta }^2+\beta \gamma +{\gamma }^2=\alpha -1$、${\gamma }^2+\gamma \alpha +{\alpha }^2=\beta -1$ となる。

したがって求める値は $(\alpha -1)(\beta -1)(\gamma -1)$ である。$f(x)=x^3+x^2+2x-1=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$ より $f(1)=(1-\alpha )(1-\beta )(1-\gamma )=1+1+2-1=3$ である。

$(\alpha -1)(\beta -1)(\gamma -1)=-f(1)=-3$。

検算: 各因数が $\gamma -1$ になることを導いた式変形は、方程式 ${\gamma }^3+{\gamma }^2+2\gamma -1=0$ だけを用いており、整合している。