剰余の定理・因数定理と高次方程式

因数定理で 3 次以上の式を因数分解し、高次方程式を解ける

前提

3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）

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算数中学高校大学大学院

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小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
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文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）

説明

多項式 $P (x)$ に数 $a$ を代入した値 $P (a)$ だけで、 $P (x)$ を $x - a$ で割った余りがわかります（剰余の定理）。特に $P (a) = 0$ なら、 $P (x)$ は $x - a$ で割り切れます（因数定理）。これを使うと、公式がそのまま使えない 3 次以上の式でも 1 次の因数を見つけて因数分解できます。その結果、 $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$ のような高次方程式を解けるようになります。

なぜそうしてよいのか

多項式 $P (x)$ を 1 次式 $x - a$ で割ると、商 $Q (x)$ と余り $R$ が決まり、 $P (x) = (x - a) Q (x) + R$ と書けます。1 次式で割った余りは割る式より次数が低いので、 $x$ を含まない定数です。この式は $x$ についての恒等式なので、 $x = a$ を代入できます。すると $(x - a)$ の部分が $0$ になり、 $P (a) = R$ となります。つまり「 $x - a$ で割った余りは $P (a)$ 」です。これが剰余の定理です。 $a x + b$ （ $a \neq = 0$ ）で割るときも考え方は同じです。 $a x + b = 0$ となる $x = - \frac{b}{a}$ を代入すれば、余りは $P (- \frac{b}{a})$ になります。

余りが $0$ であることは、割り切れること、つまり $P (x) = (x - a) Q (x)$ と因数分解できることと同じです。よって「 $P (a) = 0 ⟺ P (x)$ は $x - a$ を因数にもつ」が成り立ちます。これが因数定理です。このとき、商 $Q (x)$ の最高次の係数は $P (x)$ の最高次の係数と同じです。 $(x - a) Q (x)$ の最高次の項は、 $x$ と $Q (x)$ の最高次の項の積だからです。

代入する $a$ は、手当たり次第に探す必要はありません。以下、係数がすべて整数の式で考えます（分数の係数があれば、先に分母を払っておきます）。3 次式 $P (x) = k x^{3} + l x^{2} + m x + n$ の解が有理数 $x = \frac{q}{r}$ だとします。ここで $r > 0$ とし、 $q$ と $r$ は $1$ 以外に共通の約数をもたない（既約分数）とします。 $P (\frac{q}{r}) = 0$ の両辺に $r^{3}$ を掛けると $k q^{3} + l q^{2} r + m q r^{2} + n r^{3} = 0$ となります。 $n r^{3} = - q (k q^{2} + l q r + m r^{2})$ は $q$ の倍数です。 $r$ は $q$ と共通の約数をもたないので、 $q$ は定数項 $n$ の約数です。同じように、 $k q^{3} = - r (l q^{2} + m q r + n r^{2})$ は $r$ の倍数なので、 $r$ は最高次の係数 $k$ の約数です。したがって、有理数の解は $\pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数}$ の中にしかありません。最高次の係数が $1$ なら $r = 1$ なので、候補は定数項の約数（正と負の両方）だけです。ただし、これは有理数の解の候補です。候補がどれも解でなければ、その式は有理数の解をもたず、この方法では 1 次の因数が見つかりません。なお、定数項が $0$ なら $P (0) = 0$ なので、まず $x$ でくくり出せます。

手順

方程式を $P (x) = 0$ の形に整理し、係数を整数にする（分数があれば分母を払う）。定数項が $0$ なら、先に $x$ でくくり出す（ $x = 0$ が解になる）。
有理数の解の候補 $\pm \frac{定数項の約数}{最高次の係数の約数}$ を書き出す。最高次の係数が $1$ なら、定数項の約数を $\pm$ の両方で書き出せばよい。
候補を $P (x)$ に代入し、 $P (a) = 0$ となる $a$ を 1 つ見つける。因数定理より、 $P (x)$ は $x - a$ を因数にもつ。
$P (x)$ の最高次の係数を $p$ として、 $P (x) = (x - a) (p x^{2} + b x + c)$ とおく。右辺を展開し、両辺の係数を比べて $b, c$ を決める（割り算で商を求めてもよい）。使わなかった係数でも一致するか、必ず確かめる。 $a = \frac{q}{r}$ が分数のときは、 $(r x - q) (\dots)$ の形にまとめ直してもよい。
残った 2 次式を因数分解するか、解の公式で解く。 $x = a$ と合わせて、すべての解を答える。

例題

方程式 $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = 0$ の解をすべて求めよ。

例題の解答

手順1： $P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ とおく。すでに $P (x) = 0$ の形で、係数はすべて整数である。定数項は $6 \neq = 0$ である。
手順2：最高次の係数は $1$ 、定数項は $6$ なので、候補は $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ である。
手順3： $P (1) = 1 - 4 + 1 + 6 = 4 \neq = 0$ である。一方、 $P (- 1) = - 1 - 4 - 1 + 6 = 0$ となる。因数定理より、 $P (x)$ は $x - (- 1) = x + 1$ を因数にもつ。
手順4：最高次の係数は $1$ なので、 $P (x) = (x + 1) (x^{2} + b x + c)$ とおく。右辺を展開すると $x^{3} + (b + 1) x^{2} + (b + c) x + c$ になる。係数を比べると、 $x^{2}$ の係数から $b + 1 = - 4$ 、定数項から $c = 6$ となり、 $b = - 5$ である。使わなかった $x$ の係数も、 $b + c = - 5 + 6 = 1$ で一致する。よって $P (x) = (x + 1) (x^{2} - 5 x + 6)$ である。
手順5： $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ なので、 $P (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)$ となる。 $(x + 1) (x - 2) (x - 3) = 0$ より、解は $x = - 1, 2, 3$ である。

答え: $- 1, 2, 3$

よくある誤り

$P (2) = 0$ だから因数は $x + 2$ だとしてしまう誤り。正しくは $x - 2$ です。因数は $x - (代入した値)$ の形になるので、 $P (- 1) = 0$ なら因数は $x + 1$ です。
候補を正の約数だけで探し、見つからないとあきらめてしまう誤り。正しくは負の約数も調べます。たとえば $P (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6$ では、 $P (1) = 24, P (2) = 60, P (3) = 120, P (6) = 504$ と正の候補はどれも $0$ になりません。しかし $P (- 1) = - 1 + 6 - 11 + 6 = 0$ で、 $P (x) = (x + 1) (x + 2) (x + 3)$ と因数分解できます。
最高次の係数が $1$ でない式で、商を $x^{2} + b x + c$ とおいてしまう誤り。たとえば $P (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 2 x - 1$ は $P (1) = 0$ ですが、 $(x - 1) (x^{2} + b x + c)$ では $x^{3}$ の係数が $1$ になり、 $2$ と合いません。正しくは $P (x) = (x - 1) (2 x^{2} + b x + c)$ とおきます。係数を比べると $P (x) = (x - 1) (2 x^{2} + 3 x + 1) = (x - 1) (x + 1) (2 x + 1)$ となります。
$x^{3} = x$ の両辺を $x$ で割って $x^{2} = 1$ とし、解を $x = \pm 1$ だけにしてしまう誤り。 $x = 0$ のときは $x$ で割れないので、 $x = 0$ の解が抜け落ちます。正しくは $x^{3} - x = x (x + 1) (x - 1) = 0$ と因数分解して、 $x = 0, \pm 1$ とします。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）
相反方程式（数学II 複素数と方程式）
2 次以上の式で割った余り（数学II 複素数と方程式）
虚数解をもつ高次方程式の係数決定（数学II 複素数と方程式）
3 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
$z^{n} = a$ の解を使った和と積（数学C 複素数平面）
最小多項式と既約性の判定（大学数学代数学）
ラグランジュ補間（大学数学数値解析）