微分法と積分法の問題

$f(x)=x^3-4x^2+3x$ とおく。

接線 $\ell$ の方程式

$f^{\prime }(x)=3x^2-8x+3$ より $f^{\prime }(3)=27-24+3=6$。また $f(3)=27-36+9=0$ なので、点 $\mathrm{P}(3,0)$ は $C$ 上にある。よって $\ell$ の方程式は
$$y=6(x-3)=6x-18$$

共有点の $x$ 座標

$$f(x)-(6x-18)=x^3-4x^2-3x+18$$
$x=3$ で接しているので、この式は $(x-3{)}^2$ を因数にもつ。$(x-3{)}^2=x^2-6x+9$ で割ると
$$x^3-4x^2-3x+18=(x-3{)}^2(x+2)$$
（確認: $(x^2-6x+9)(x+2)=x^3+2x^2-6x^2-12x+9x+18=x^3-4x^2-3x+18$）

よって共有点の $x$ 座標は $x=-2,3$ である。

上下関係

$-2<x<3$ では $(x-3{)}^2>0$, $x+2>0$ なので $f(x)-(6x-18)>0$、すなわち曲線 $C$ が直線 $\ell$ の上側にある。

面積の計算
$$S={\int }_{-2}^3\left(x^3-4x^2-3x+18\right)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+18x\right]}_{-2}^3$$
$x=3$ のとき: $\frac{81}{4}-36-\frac{27}{2}+54=\frac{81}{4}-\frac{54}{4}+18=\frac{27}{4}+18=\frac{99}{4}$

$x=-2$ のとき: $\frac{16}{4}+\frac{32}{3}-6-36=4+\frac{32}{3}-42=-\frac{82}{3}$

したがって
$$S=\frac{99}{4}-\left(-\frac{82}{3}\right)=\frac{297}{12}+\frac{328}{12}=\frac{625}{12}$$

（参考: 公式 ${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta {)}^{2}dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^4}{12}$ を使うと、$\alpha =-2$, $\beta =3$ より $S=\frac{5^4}{12}=\frac{625}{12}$ となり一致する。）

答え: $S=\frac{625}{12}$

$C:y=x(x-1)(x-3)$ であり、点 $\mathrm{P}(3,0)$ は $C$ 上にある。
$y^{\prime }=3x^2-8x+3$ より、$x=3$ での傾きは $27-24+3=6$。よって接線は $\ell :y=6(x-3)=6x-18$。

$C$ と $\ell$ の交点を求める。
$x^3-4x^2+3x-(6x-18)=x^3-4x^2-3x+18=(x-3{)}^2(x+2)$
（展開して確認: $(x^2-6x+9)(x+2)=x^3-4x^2-3x+18$）
よって交点の $x$ 座標は $x=-2,3$（$x=3$ は重解で接点）。

$-2\le x\le 3$ で $(x-3{)}^2(x+2)\ge 0$ なので、$C$ が $\ell$ の上側にある。
$S={\int }_{-2}^3(x-3{)}^2(x+2)dx$
$t=x-3$ とおくと $x+2=t+5$、$t$ は $-5$ から $0$ まで動くので
$S={\int }_{-5}^0{t}^2(t+5)dt={\left[\frac{t^4}{4}+\frac{5t^3}{3}\right]}_{-5}^0=-\left(\frac{625}{4}-\frac{625}{3}\right)=\frac{625}{12}$

検算: 公式 ${\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(x-\beta {)}^{2}dx=\frac{(\beta -\alpha {)}^4}{12}$ に $\alpha =-2,\beta =3$ を代入すると $\frac{5^4}{12}=\frac{625}{12}$。一致する。