微分法と積分法の問題

$f(x)=x^3-3x^2+x$ とおく。

接線 $\ell$ の方程式

$f(2)=8-12+2=-2$ なので、点 $\mathrm{P}$ は確かに $C$ 上にある。
$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+1$$ より $f^{\prime }(2)=12-12+1=1$。よって接線 $\ell$ は
$$y-(-2)=1\cdot (x-2)\text{すなわち}y=x-4$$

共有点の $x$ 座標

$$f(x)-(x-4)=x^3-3x^2+x-x+4=x^3-3x^2+4$$
$x=2$ で接しているので、この式は $(x-2{)}^2$ で割り切れる。実際
$$(x-2{)}^2(x+1)=(x^2-4x+4)(x+1)=x^3-3x^2+4$$
となるので
$$f(x)-(x-4)=(x-2{)}^2(x+1)$$
よって $C$ と $\ell$ の共有点の $x$ 座標は $x=-1,2$ である。

上下関係

$-1\le x\le 2$ では $(x-2{)}^2\ge 0$, $x+1\ge 0$ なので $f(x)-(x-4)\ge 0$。つまりこの区間では $C$ が $\ell$ の上側にある。

面積
$$S={\int }_{-1}^2\left(x^3-3x^2+4\right)dx={\left[\frac{x^4}{4}-x^3+4x\right]}_{-1}^2$$
$x=2$ のとき $\frac{16}{4}-8+8=4$、
$x=-1$ のとき $\frac{1}{4}+1-4=-\frac{11}{4}$。
したがって
$$S=4-\left(-\frac{11}{4}\right)=\frac{27}{4}$$

（参考：3 次関数の $x^3$ の係数が $1$ で、接点の $x$ 座標が $\beta$、もう一つの交点の $x$ 座標が $\alpha$ のとき、面積は $\frac{(\beta -\alpha {)}^4}{12}$ となる。$\frac{3^4}{12}=\frac{27}{4}$ と一致する。）

$y^{\prime }=3x^2-6x+1$ より、点 $\mathrm{P}(2,-2)$ での傾きは $y^{\prime }(2)=12-12+1=1$。よって接線 $\ell$ は $y=(x-2)-2=x-4$。

$C$ と $\ell$ の共有点は $x^3-3x^2+x-(x-4)=x^3-3x^2+4=0$ を解いて、$(x-2{)}^2(x+1)=0$ より $x=-1,2$($x=2$ は重解で接点)。

$-1\le x\le 2$ では $(x-2{)}^2(x+1)\ge 0$ なので $C$ が $\ell$ の上側にある。

$S={\int }_{-1}^2(x-2{)}^2(x+1)dx$。$t=x+1$ とおくと $x-2=t-3$ で、$t$ は $0$ から $3$ まで動く。

$S={\int }_0^3(t-3{)}^{2}tdt={\int }_0^3(t^3-6t^2+9t)dt={\left[\frac{t^4}{4}-2t^3+\frac{9}{2}{t}^2\right]}_0^3=\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2}=\frac{27}{4}$。

検算: ${\int }_{-1}^2(x^3-3x^2+4)dx={\left[\frac{x^4}{4}-x^3+4x\right]}_{-1}^2=(4-8+8)-\left(\frac{1}{4}+1-4\right)=4+\frac{11}{4}=\frac{27}{4}$。一致する。