接線の方程式

曲線上の点や曲線外の点から引いた接線の方程式を求められる

前提

多項式の微分（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）

説明

関数 $y = f (x)$ のグラフに、ある点でちょうど接する直線（接線）の式を求められるようになります。曲線上の点が与えられたときは、その点での傾きを微分で求めて式を作ります。曲線の外の点から引く接線では、まず接点を文字でおいて考えます。グラフの概形をかくとき、面積や交点を調べるとき、最大・最小を考えるときなど、多くの場面で使います。

なぜそうしてよいのか

微分係数の定義から、 $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ は、曲線上の 2 点 $(a, f (a))$ と $(a + h, f (a + h))$ を結ぶ直線の傾きの、 $h \to 0$ での極限です。 $h$ を 0 に近づけると、2 点目が 1 点目に限りなく近づき、この直線は点 $(a, f (a))$ での接線に近づいていきます。そこで、点 $(a, f (a))$ における接線の傾きを $f^{'} (a)$ と決めます。

次に、点 $(a, b)$ を通り傾き $m$ の直線の式を考えます。この直線上の $x \neq = a$ の点 $(x, y)$ については $\frac{y - b}{x - a} = m$ が成り立つので、分母を払うと $y - b = m (x - a)$ になります。この式は $x = a$ のときも点 $(a, b)$ を表すので、直線全体を表しています。 $b = f (a)$ 、 $m = f^{'} (a)$ を代入すると、接線の方程式 $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ が得られます。

曲線の外の点 $(p, q)$ から引く接線では、接点がどこかわかりません。そこで接点を $(t, f (t))$ とおき、その点での接線 $y - f (t) = f^{'} (t) (x - t)$ が点 $(p, q)$ を通るという条件から $t$ を決めます。 $t$ が複数求まれば、接線も複数あります。

手順

導関数 $f^{'} (x)$ を求める。
接点の $x$ 座標を決める。曲線上の点が与えられたときは、その $x$ 座標を $a$ とする。曲線外の点 $(p, q)$ から引くときは、接点を $(t, f (t))$ とおく。
接点の $y$ 座標 $f (a)$ と、傾き $f^{'} (a)$ を計算する（接点を文字 $t$ でおいたときは $f (t)$ , $f^{'} (t)$ を $t$ の式で表す）。
公式 $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ に代入し、 $y = m x + n$ の形に整理する。
（曲線外の点から引くときだけ）手順 4 の式に $x = p$ , $y = q$ を代入して $t$ の方程式を解き、得られた $t$ をそれぞれ接線の式に戻す。

例題

曲線 $y = x^{3} - 2 x$ 上の点 $(1, - 1)$ における接線の方程式を求めよ。

例題の解答

$f (x) = x^{3} - 2 x$ とおく。

【手順 1】 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ 。

【手順 2】点 $(1, - 1)$ は曲線上の点です（実際に $f (1) = 1 - 2 = - 1$ です）。そこで $a = 1$ とします。

【手順 3】接点の $y$ 座標は $f (1) = - 1$ 、傾きは $f^{'} (1) = 3 \cdot 1^{2} - 2 = 1$ です。

【手順 4】 $y - (- 1) = 1 \cdot (x - 1)$ より $y + 1 = x - 1$ となり、整理すると $y = x - 2$ です。

（点 $(1, - 1)$ は曲線上にあるので、手順 5 は不要です。）

答え： $y = x - 2$

答え: $x - 2$

よくある誤り

傾きに導関数 $f^{'} (x)$ をそのまま使ってしまう誤り。例えば $y = x^{3} - 2 x$ の点 $(1, - 1)$ で $y + 1 = (3 x^{2} - 2) (x - 1)$ とすると、直線になりません。正しくは $x = 1$ を代入した値 $f^{'} (1) = 1$ を傾きにして、 $y + 1 = 1 \cdot (x - 1)$ とします。
公式の符号を間違えて $y + f (a) = f^{'} (a) (x + a)$ のようにしてしまう誤り。点 $(1, - 1)$ なら正しくは $y - (- 1) = 1 \cdot (x - 1)$ 、つまり $y + 1 = x - 1$ です。 $- (- 1)$ のように負の数を引く部分に注意します。
曲線外の点 $(p, q)$ から引く接線で、 $f^{'} (p)$ を傾きにしてしまう誤り。例えば $y = x^{2}$ に点 $(0, - 1)$ から引く接線を $f^{'} (0) = 0$ から $y = - 1$ とするのは誤りです（この直線は曲線と交わりません）。正しくは、接点を $(t, t^{2})$ とおいて接線 $y = 2 t x - t^{2}$ を作り、 $(0, - 1)$ を代入して $- 1 = - t^{2}$ を解きます。 $t = \pm 1$ となるので、接線は $y = 2 x - 1$ と $y = - 2 x - 1$ です。
曲線外の点から引く接線で、 $t$ の方程式の解を一部しか拾わない誤り。上の例で $t^{2} = 1$ から $t = 1$ だけを答えると、接線 $y = - 2 x - 1$ を落とします。 $t$ の方程式の解はすべて求め、それぞれの接線を答えます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ニュートン法の反復（大学数学数値解析）