微分法と積分法の問題

$f(x)=x^3-3x^2+x+2$ とおく。

まず、点 $\mathrm{A}$ が $C$ 上にあることを確かめる。$f(2)=8-12+2+2=0$ だから、$\mathrm{A}(2,0)$ は $C$ 上にある。

接線 $\ell$ の方程式を求める。

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x+1$ より、$f^{\prime }(2)=12-12+1=1$ である。よって $\ell$ の方程式は
$$y-0=1\cdot (x-2)\text{すなわち}y=x-2$$
となる。

$\ell$ と $C$ の共有点を求める。

$y$ を消去すると $x^3-3x^2+x+2=x-2$、すなわち
$$x^3-3x^2+4=0$$
となる。$\ell$ は $x=2$ で $C$ に接しているので、左辺は $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$ で割り切れる。実際に割ると
$$x^3-3x^2+4=(x-2{)}^2(x+1)$$
である（確認: $(x^2-4x+4)(x+1)=x^3+x^2-4x^2-4x+4x+4=x^3-3x^2+4$）。

したがって $x=2$（重解）, $x=-1$ となる。

$\mathrm{A}$ 以外の共有点の座標を求める。

$x=2$ は点 $\mathrm{A}$ に対応するので、求める点は $x=-1$ の点である。このとき $y=-1-2=-3$ であり、$f(-1)=-1-3-1+2=-3$ とも一致する。

よって、求める点の座標は $(-1,-3)$ である。

$y^{\prime }=3x^2-6x+1$ なので、$x=2$ での傾きは $12-12+1=1$。よって接線 $\ell$ は $y=x-2$。
$C$ と $\ell$ の式を連立すると $x^3-3x^2+x+2=x-2$、すなわち $x^3-3x^2+4=0$。
これは $(x-2{)}^2(x+1)=0$ と因数分解できる（展開すると $x^3-3x^2+4$ で一致）。
$x=2$ は接点 A の重解なので、A 以外の共有点は $x=-1$ で、このとき $y=-1-2=-3$。
検算: $C$ 上で $x=-1$ のとき $-1-3-1+2=-3$ となり一致する。
よって求める点は $(-1,-3)$。