ニュートン法の反復

接線と $x$ 軸の交点として $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$ を導き、与えられた初期値から $x_{1}, x_{2}$ などの反復値を分数で厳密に求められる

前提

接線の方程式（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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接線の方程式（数学II 微分法と積分法）

説明

ニュートン法は、方程式 $f (x) = 0$ の解（ $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸の交点）に近い値を、接線を何度も引いて順に求める方法です。初期値 $x_{0}$ から $x_{1}, x_{2}, \dots$ を次々に計算し、解に近づけていきます。 $3$ のように記号では書けても値を直接求めにくい数や、解の公式が使えない方程式の解を、具体的な数で近似したいときに使います。この単元では、反復値を分数のまま厳密に求めます。

なぜそうしてよいのか

$y = f (x)$ のグラフ上の点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ における接線の方程式は、前提の技能により $y = f (x_{n}) + f^{'} (x_{n}) (x - x_{n})$ です。解の近くでは、曲線はこの接線とほぼ重なっています。そこで、求めにくい「曲線と $x$ 軸の交点」の代わりに、すぐ求まる「接線と $x$ 軸の交点」を計算し、それを次の近似値 $x_{n + 1}$ とします。

接線の式で $y = 0$ とおくと $0 = f (x_{n}) + f^{'} (x_{n}) (x - x_{n})$ です。 $f^{'} (x_{n}) \neq = 0$ ならば両辺を $f^{'} (x_{n})$ で割ることができ、 $x - x_{n} = - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$ 、つまり $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$ が得られます。一方 $f^{'} (x_{n}) = 0$ のときは接線が $y = f (x_{n})$ という水平な直線になり、次の 2 通りに分かれます。 $f (x_{n}) \neq = 0$ なら接線は $x$ 軸と平行で交わりません。 $f (x_{n}) = 0$ なら接線は $x$ 軸そのものと一致し、交点が 1 点に定まりません（このとき $x_{n}$ はすでに $f (x) = 0$ の解です）。どちらの場合も $0$ で割ることになるので、反復式は使えません。

新しい点 $x_{n + 1}$ で再び接線を引けば、さらに解に近い交点が得られます。これを繰り返すのがニュートン法です。初期値が解に十分近く、解の近くで $f^{'}$ が $0$ にならないなどの条件がそろえば、反復値は解に急速に近づきます。ただし、初期値の選び方によってはうまく近づかないこともあります。

手順

導関数 $f^{'} (x)$ を求める。
反復式 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$ を書く。必要なら右辺を通分して 1 つの分数式にまとめておく（例: $f (x) = x^{2} - a$ なら $x_{n + 1} = \frac{x _{n}^{2} + a}{2 x _{n}}$ ）。
現在の値 $x_{n}$ について $f (x_{n})$ と $f^{'} (x_{n})$ を分数のまま計算し、 $f^{'} (x_{n}) \neq = 0$ であることを確かめる。
反復式に代入して $x_{n + 1}$ を求め、約分しておく。
求めたい番号に達するまで手順 3・4 を繰り返す（毎回、新しい $x_{n}$ での $f^{'} (x_{n})$ を計算し直す）。

例題

$f (x) = x^{2} - 3$ とし、方程式 $f (x) = 0$ にニュートン法を初期値 $x_{0} = 2$ で適用する。反復値 $x_{2}$ を分数で求めよ。

例題の解答

手順 1: $f^{'} (x) = 2 x$ 。

手順 2: 反復式は $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{2} - 3}{2 x _{n}}$ 。

手順 3（ $n = 0$ ）: $f (2) = 4 - 3 = 1$ 、 $f^{'} (2) = 4 \neq = 0$ 。

手順 4: $x_{1} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$ 。

手順 5（手順 3・4 を $n = 1$ で繰り返す）: $f (\frac{7}{4}) = \frac{49}{16} - 3 = \frac{1}{16}$ 、 $f^{'} (\frac{7}{4}) = \frac{7}{2} \neq = 0$ 。よって $x_{2} = \frac{7}{4} - \frac{1/16}{7/2} = \frac{7}{4} - \frac{1}{56} = \frac{98}{56} - \frac{1}{56} = \frac{97}{56} .$

（確認: $\frac{97}{56} = 1.7321 \dots$ で、 $3 = 1.7320 \dots$ にかなり近い。また整理した式 $x_{n + 1} = \frac{x _{n}^{2} + 3}{2 x _{n}}$ を使っても $x_{1} = \frac{4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$ 、 $x_{2} = \frac{49/16 + 3}{7/2} = \frac{97}{16} \cdot \frac{2}{7} = \frac{97}{56}$ と一致する。）

答え: $\frac{97}{56}$

よくある誤り

符号を逆にして $x_{n + 1} = x_{n} + \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$ としてしまう誤り。正しくは接線の式で $y = 0$ とおいて移項するので $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}$ 。例題なら $x_{1} = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ ではなく $x_{1} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$ 。
分子と分母を取り違えて $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ^{'} ( x _{n} )}{f ( x _{n} )}$ としてしまう誤り。正しくは関数の値 $f (x_{n})$ が分子、傾き $f^{'} (x_{n})$ が分母。例題では $2 - \frac{4}{1} = - 2$ ではなく $2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$ 。
2 回目以降も最初の傾き $f^{'} (x_{0})$ を使い回してしまう誤り。正しくは毎回その点で接線を引き直すので $f^{'} (x_{n})$ を計算し直す。例題で $x_{2} = \frac{7}{4} - \frac{1/16}{4} = \frac{111}{64}$ とするのは誤りで、正しくは $f^{'} (\frac{7}{4}) = \frac{7}{2}$ を使って $x_{2} = \frac{97}{56}$ 。
$f^{'} (x_{n}) = 0$ なのに反復式へ代入しようとしてしまう誤り。例えば $f (x) = x^{2} - 3$ で $x_{0} = 0$ とすると $f^{'} (0) = 0$ 、 $f (0) = - 3 \neq = 0$ なので、接線 $y = - 3$ は $x$ 軸と平行で交わらず、 $x_{1}$ は定まらない（もし $f (x_{n}) = 0$ なら接線は $x$ 軸と一致し、交点が 1 点に定まらない）。正しくは、割る前に必ず $f^{'} (x_{n}) \neq = 0$ を確かめる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ニュートン法の収束の次数（大学数学数値解析）