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数値解析の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学数学数値解析

$x > 0$ で定義された関数
$f (x) = \frac{1}{x ^{2}} - 2$
にニュートン法
$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} (n = 0, 1, 2, \dots)$
を初期値 $x_{0} = 1$ で適用すると、数列 ${x_{n}}$ は $f$ の正の零点 $α = \frac{1}{2}$ に収束し、すべての $n$ で $x_{n} \neq = α$ である。誤差を $e_{n} = x_{n} - α$ とおくとき、
$n \to \infty lim \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{p}} = C, C \neq = 0$
を満たす正の整数 $p$ （収束の次数）と実数 $C$ が存在する。 $p$ と $C$ を $(p, C)$ の順に組で求めよ。

この問題で使うもの

ニュートン法の収束の次数（説明と入口の問題）
ニュートン法の反復（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $f^{'} (x)$ を求め、ニュートン法の反復式を $x_{n}$ の多項式の形 $x_{n + 1} = \frac{3 x _{n} - 2 x _{n}^{3}}{2}$ に整理する。

ヒント 2

$x_{n} = α + e_{n}$ を代入し、 $α^{2} = \frac{1}{2}$ を使って展開すると、 $e_{n + 1}$ が $e_{n}$ の多項式で表せる。 $e_{n}$ の 1 次の項が消えるかどうかが次数を決める。

ヒント 3

展開すると $e_{n + 1} = - e_{n}^{2} (3 α + e_{n})$ となる。 $e_{n + 1} / e_{n}^{2}$ の極限を考える。

答えと解説

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(2, - \frac{3 2}{2})

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解説を読む

反復式. $f (x) = x^{- 2} - 2$ , $f^{'} (x) = - 2 x^{- 3}$ なので
$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{- 2} - 2}{- 2 x _{n}^{- 3}} = x_{n} + \frac{x _{n} - 2 x _{n}^{3}}{2} = \frac{3 x _{n} - 2 x _{n}^{3}}{2} .$
（割り算を使わずに $1/ 2$ を計算する反復になっている。）

収束の様子の確認. $x_{0} = 1$ から $x_{1} = \frac{3 - 2}{2} = \frac{1}{2}$ , $x_{2} = \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{1}{4}) = \frac{5}{8}$ , $x_{3} = \frac{1}{2} (\frac{15}{8} - \frac{125}{256}) = \frac{355}{512} \approx 0.693$ となり、 $α \approx 0.7071$ に近づいていく。 $x_{n}$ はすべて有理数で $α$ は無理数なので $e_{n} \neq = 0$ である。

誤差の関係式. $x_{n} = α + e_{n}$ を代入する。 $α^{2} = \frac{1}{2}$ , $α^{3} = \frac{α}{2}$ を使うと
$x_{n}^{3} = α^{3} + 3 α^{2} e_{n} + 3 α e_{n}^{2} + e_{n}^{3} = \frac{α}{2} + \frac{3}{2} e_{n} + 3 α e_{n}^{2} + e_{n}^{3}$
だから
$x_{n + 1} = \frac{3 α + 3 e _{n} - α - 3 e _{n} - 6 α e _{n}^{2} - 2 e _{n}^{3}}{2} = α - 3 α e_{n}^{2} - e_{n}^{3} .$
よって
$e_{n + 1} = - e_{n}^{2} (3 α + e_{n}) .$

（ $n \geq 1$ では $- α < e_{n} < 0$ が保たれ、 $∣ e_{n + 1} ∣ = ∣ e_{n} ∣ \cdot ∣ e_{n} ∣ (3 α - ∣ e_{n} ∣)$ で $∣ e_{n} ∣ (3 α - ∣ e_{n} ∣) < α \cdot 2 α = 1$ なので $∣ e_{n} ∣$ は単調に減少して $0$ に近づく。これは問題文の「 $α$ に収束する」ことと合っている。）

次数と定数. $e_{n} \to 0$ なので
$\frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = - (3 α + e_{n}) ⟶ - 3 α = - \frac{3}{2} = - \frac{3 2}{2} \neq = 0.$
この極限が $0$ でない有限の値なので、 $p = 2$ のときに条件が成り立つ（ $p = 1$ なら極限は $0$ 、 $p = 3$ なら発散するので $p$ はただ 1 つに決まる）。

一般論との照合: 単純な零点に対するニュートン法では $C = \frac{f ^{''} ( α )}{2 f ^{'} ( α )}$ であり、 $f^{''} (x) = 6 x^{- 4}$ から $\frac{6 α ^{- 4}}{- 4 α ^{- 3}} = - \frac{3}{2 α} = - \frac{3 2}{2}$ となって一致する。

したがって $(p, C) = (2, - \frac{3 2}{2})$ である。

別解

$f^{'} (x) = - 2 x^{- 3}$ より、反復式は $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{- 2} - 2}{- 2 x _{n}^{- 3}} = x_{n} + \frac{x _{n} - 2 x _{n}^{3}}{2} = \frac{3}{2} x_{n} - x_{n}^{3}$ 。よって $g (x) = \frac{3}{2} x - x^{3}$ とおくと $x_{n + 1} = g (x_{n})$ で、 $g (α) = α (\frac{3}{2} - α^{2}) = α (\frac{3}{2} - \frac{1}{2}) = α$ （不動点）。

$g^{'} (x) = \frac{3}{2} - 3 x^{2}$ より $g^{'} (α) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$ 。 $g^{''} (x) = - 6 x$ より $g^{''} (α) = - \frac{6}{2} = - 32 \neq = 0$ 。

テイラー展開で $e_{n + 1} = g (x_{n}) - g (α) = g^{'} (α) e_{n} + \frac{g ^{''} ( α )}{2} e_{n}^{2} + \frac{g ^{'''} ( α )}{6} e_{n}^{3} = - \frac{3 2}{2} e_{n}^{2} - e_{n}^{3}$ （ $g^{'''} = - 6$ ）。

したがって $\frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = - \frac{3 2}{2} - e_{n} \to - \frac{3 2}{2}$ 。 $p = 2$ 、 $C = - \frac{3 2}{2} = - \frac{3}{2}$ 。

検算: $x_{0} = 1, x_{1} = \frac{1}{2}, x_{2} = \frac{5}{8} = 0.625, x_{3} \approx 0.6934$ 、 $α \approx 0.70711$ 。 $e_{2} \approx - 0.08211$ 、 $e_{3} \approx - 0.01372$ 。 $e_{3} / e_{2}^{2} \approx - 2.035$ 、 $- \frac{3 2}{2} \approx - 2.1213$ に近い（ $- C - e_{2}$ 補正を含めると $- 2.1213 + 0.0821 \approx - 2.039$ で一致）。

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