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数値解析の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学数値解析

実数 $x$ の関数
$f (x) = x^{3} + x - 2$
を考える。方程式 $f (x) = 0$ の実数解は $α = 1$ のただ 1 つである。この方程式にニュートン法
$x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} (n = 0, 1, 2, \dots)$
を適用する。初期値 $x_{0}$ は $α$ に十分近くとり、数列 ${x_{n}}$ はすべての $n$ で $x_{n} \neq = 1$ を満たしながら $1$ に収束するものとする。誤差を $e_{n} = x_{n} - 1$ とおくとき、極限値
$n \to \infty lim \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}}$
を求めよ。

この問題で使うもの

ニュートン法の収束の次数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「ニュートン法の収束の次数」を使う。まず $α = 1$ が単純根（ $f^{'} (1) \neq = 0$ ）かどうかを確かめよう。

ヒント 2

単純根なら $lim \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{f ^{''} ( α )}{2 f ^{'} ( α )}$ 。確かめるには $x_{n} = 1 + e_{n}$ を $f$ と $f^{'}$ に代入し、 $e_{n + 1} = e_{n} - \frac{f ( 1 + e _{n} )}{f ^{'} ( 1 + e _{n} )}$ を計算する。

ヒント 3

$f (1 + e) = 4 e + 3 e^{2} + e^{3}$ 、 $f^{'} (1 + e) = 4 + 6 e + 3 e^{2}$ となり、 $e_{n + 1} = \frac{3 e _{n}^{2} + 2 e _{n}^{3}}{4 + 6 e _{n} + 3 e _{n}^{2}}$ が得られる。あとは $e_{n}^{2}$ で割って $e_{n} \to 0$ とする。

答えと解説

答えを見る

\frac{3}{4}

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解説を読む

方針誤差 $e_{n}$ を使って $e_{n + 1}$ を表し（誤差の漸化式）、 $e_{n} \to 0$ の極限をとる。

手順 1：単純根であることの確認
$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ より $f^{'} (1) = 4 \neq = 0$ なので、 $α = 1$ は単純根である。したがってニュートン法は 2 次収束し、
$n \to \infty lim \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{f ^{''} ( α )}{2 f ^{'} ( α )}$
となるはずである。これを、誤差の漸化式を実際に作って確かめる。

手順 2： $x_{n} = 1 + e_{n}$ を代入して展開する
$e = e_{n}$ と書くと（ $f$ は多項式なので、 $x = 1$ のまわりのテイラー展開は有限項で正確に求まる）
$f (1 + e) = (1 + 3 e + 3 e^{2} + e^{3}) + (1 + e) - 2 = 4 e + 3 e^{2} + e^{3},$
$f^{'} (1 + e) = 3 (1 + 2 e + e^{2}) + 1 = 4 + 6 e + 3 e^{2} .$

手順 3：誤差の漸化式
$e_{n + 1} = x_{n + 1} - 1 = e - \frac{f ( 1 + e )}{f ^{'} ( 1 + e )}$ より
$e_{n + 1} = \frac{e ( 4 + 6 e + 3 e ^{2} ) - ( 4 e + 3 e ^{2} + e ^{3} )}{4 + 6 e + 3 e ^{2}} = \frac{3 e ^{2} + 2 e ^{3}}{4 + 6 e + 3 e ^{2}} .$
よって
$\frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{3 + 2 e _{n}}{4 + 6 e _{n} + 3 e _{n}^{2}} .$

手順 4：極限をとる
$e_{n} \to 0$ であるから
$n \to \infty lim \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{3}{4} .$

公式との照合 $f^{''} (x) = 6 x$ より $f^{''} (1) = 6$ 。 $\frac{f ^{''} ( 1 )}{2 f ^{'} ( 1 )} = \frac{6}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4}$ となり一致する。この極限が $0$ でない有限の値なので、収束の次数は 2（2 次収束）であり、誤差定数は $\frac{3}{4}$ である。

答え： $\frac{3}{4}$

別解

$f (x) = x^{3} + x - 2$ 、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ 、 $f^{''} (x) = 6 x$ 。 $f (1) = 0$ 、 $f^{'} (1) = 4$ 、 $f^{''} (1) = 6$ 。

ニュートン法の誤差は一般に、 $α$ が単純解のとき
$n \to \infty lim \frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{f ^{''} ( α )}{2 f ^{'} ( α )}$
となる。

直接確かめる。 $x = 1 + e$ とおくと
$f (1 + e) = (1 + e)^{3} + (1 + e) - 2 = 4 e + 3 e^{2} + e^{3}$ 、
$f^{'} (1 + e) = 3 (1 + e)^{2} + 1 = 4 + 6 e + 3 e^{2}$ 。
よって
$e_{n + 1} = e - \frac{4 e + 3 e ^{2} + e ^{3}}{4 + 6 e + 3 e ^{2}} = \frac{e ( 4 + 6 e + 3 e ^{2} ) - 4 e - 3 e ^{2} - e ^{3}}{4 + 6 e + 3 e ^{2}} = \frac{3 e ^{2} + 2 e ^{3}}{4 + 6 e + 3 e ^{2}} .$
したがって
$\frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} = \frac{3 + 2 e _{n}}{4 + 6 e _{n} + 3 e _{n}^{2}} \to \frac{3}{4} (e_{n} \to 0) .$

公式 $\frac{6}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4}$ とも一致する。

答え： $\frac{3}{4}$

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