数値解析の問題

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-7$ を考える。方程式 $f(x)=0$ の正の解 $\sqrt{7}$ の近似値を、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
で求める。初期値を $x_0=3$ とするとき、$x_2$ の値を既約分数で求めよ。

$\sqrt{7}$ の近似値を求めるために、実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-7$ を考える。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(x_n,f(x_n))$ における接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $x_{n+1}$ とする。これにより、ニュートン法の反復式
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
が得られる。初期値を $x_0=3$ とするとき、$x_2$ を既約分数で求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=x^3-2x-4$$
を考える。方程式 $f(x)=0$ の実数解は $\alpha =2$ だけである。初期値 $x_0=3$ からニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
で数列 $\{x_n\}$ を作る。このとき、すべての $n$ について $x_n\ne 2$ であり、$x_n\to 2$ $(n\to \infty )$ となる。誤差を $e_n=x_n-2$ とおくとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$$
の値を求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3+x-2$ を考える。方程式 $f(x)=0$ はただ 1 つの実数解 $\alpha =1$ をもつ。初期値 $x_0=2$ としてニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を適用すると、すべての $n$ で $x_n>1$ を満たしながら $x_n\to 1$ となることが知られている。誤差を $e_n=x_n-1$ とおく。正の定数 $p$ と $0$ でない定数 $C$ が存在して
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^p}=C$$
が成り立つ。このときの収束の次数 $p$ と誤差定数 $C$ を、組 $(p,C)$ の形でこの順に求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=x^3+x-2$$
を考える。方程式 $f(x)=0$ の実数解は $\alpha =1$ のただ 1 つである。この方程式にニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を適用する。初期値 $x_0$ は $\alpha$ に十分近くとり、数列 $\{x_n\}$ はすべての $n$ で $x_n\ne 1$ を満たしながら $1$ に収束するものとする。誤差を $e_n=x_n-1$ とおくとき、極限値
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$$
を求めよ。