数値解析の問題

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-x-1$ を考える。方程式 $f(x)=0$ の正の解を、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
で近似する。初期値を $x_0=2$ とするとき、$x_1,x_2$ を既約分数で表し、この順に組 $(x_1,x_2)$ として答えよ。

$\sqrt{7}$ の近似値を求めるために、実数 $x$ の関数 $f(x)=x^2-7$ を考える。曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(x_n,f(x_n))$ における接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $x_{n+1}$ とする。これにより、ニュートン法の反復式
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
が得られる。初期値を $x_0=3$ とするとき、$x_2$ を既約分数で求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=x^3-2x-4$$
を考える。方程式 $f(x)=0$ の実数解は $\alpha =2$ だけである。初期値 $x_0=3$ からニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
で数列 $\{x_n\}$ を作る。このとき、すべての $n$ について $x_n\ne 2$ であり、$x_n\to 2$ $(n\to \infty )$ となる。誤差を $e_n=x_n-2$ とおくとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$$
の値を求めよ。

実数 $x$ の関数
$$f(x)=x^3+x-2$$
を考える。方程式 $f(x)=0$ の実数解は $\alpha =1$ のただ 1 つである。この方程式にニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を適用する。初期値 $x_0$ は $\alpha$ に十分近くとり、数列 $\{x_n\}$ はすべての $n$ で $x_n\ne 1$ を満たしながら $1$ に収束するものとする。誤差を $e_n=x_n-1$ とおくとき、極限値
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{e_{n+1}}{e_n^2}$$
を求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-5$ の正の実数解を $\alpha =\sqrt[3]{5}$ とする。初期値 $x_0=2$ からニュートン法 $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$ で数列 $\{x_n\}$ を定めると、すべての $n$ について $x_n>\alpha$ であり、$x_n\to \alpha$ $(n\to \infty )$ となる。このとき、極限 $$C=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{(x_n-\alpha {)}^2}$$ の値を求めよ。