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数値解析の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学数学数値解析

実数 $x$ の関数 $f (x) = x^{3} - 5$ の正の実数解を $α = 35$ とする。初期値 $x_{0} = 2$ からニュートン法 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )} (n = 0, 1, 2, \dots)$ で数列 ${x_{n}}$ を定めると、すべての $n$ について $x_{n} > α$ であり、 $x_{n} \to α$ $(n \to \infty)$ となる。このとき、極限 $C = n \to \infty lim \frac{x _{n + 1} - α}{( x _{n} - α ) ^{2}}$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

ニュートン法の収束の次数（説明と入口の問題）
ニュートン法の反復（説明と入口の問題）
3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）
数列の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（55 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$x_{n + 1} - α$ を $x_{n} - α$ で表す式を作りましょう。 $α^{3} = 5$ を使って $5$ を $α^{3}$ に置き換えるのがポイントです。

ヒント 2

反復式は $x_{n + 1} = \frac{2 x _{n}^{3} + 5}{3 x _{n}^{2}}$ で、 $x_{n + 1} - α$ の分子は $2 x_{n}^{3} - 3 α x_{n}^{2} + α^{3}$ です。これは $(x_{n} - α)^{2}$ を因数にもちます。

ヒント 3

$x_{n + 1} - α = \frac{( x _{n} - α ) ^{2} ( 2 x _{n} + α )}{3 x _{n}^{2}}$ となります。あとは $x_{n} \to α$ として極限をとりましょう。

答えと解説

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\frac{1}{3 5}

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解説を読む

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ なので、反復式は $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{3} - 5}{3 x _{n}^{2}} = \frac{2 x _{n}^{3} + 5}{3 x _{n}^{2}}$ となる。 $α^{3} = 5$ を用いて誤差を計算すると $x_{n + 1} - α = \frac{2 x _{n}^{3} + α ^{3} - 3 α x _{n}^{2}}{3 x _{n}^{2}} .$ 分子は $2 x_{n}^{3} - 3 α x_{n}^{2} + α^{3} = (x_{n} - α)^{2} (2 x_{n} + α)$ と因数分解できる（展開すると $(x_{n}^{2} - 2 α x_{n} + α^{2}) (2 x_{n} + α) = 2 x_{n}^{3} - 3 α x_{n}^{2} + α^{3}$ となることで確かめられる）。よって $x_{n + 1} - α = \frac{( x _{n} - α ) ^{2} ( 2 x _{n} + α )}{3 x _{n}^{2}}$ である。

これより、 $x_{n} > 0$ ならば $x_{n + 1} - α ≧ 0$ であり、 $x_{0} = 2 > α$ （ $2^{3} = 8 > 5$ ）からすべての $n$ で $x_{n} > α$ となる（等号は $x_{n} = α$ のときだけで、 $x_{n}$ は有理数なので起こらない）。 $x_{n} \neq = α$ なので割り算ができ、 $\frac{x _{n + 1} - α}{( x _{n} - α ) ^{2}} = \frac{2 x _{n} + α}{3 x _{n}^{2}} .$ $x_{n} \to α$ なので $C = n \to \infty lim \frac{2 x _{n} + α}{3 x _{n}^{2}} = \frac{3 α}{3 α ^{2}} = \frac{1}{α} = \frac{1}{3 5}$ となる。

（参考: 一般に単根 $α$ に対するニュートン法では $C = \frac{f ^{''} ( α )}{2 f ^{'} ( α )}$ であり、ここでは $\frac{6 α}{2 \cdot 3 α ^{2}} = \frac{1}{α}$ と一致する。 $C \neq = 0$ なので収束の次数はちょうど 2 である。）

答え: $\frac{1}{3 5}$

別解

$f^{'} (x) = 3 x^{2}, f^{''} (x) = 6 x$ 。ニュートン法の反復写像 $g (x) = x - \frac{f ( x )}{f ^{'} ( x )} = x - \frac{x ^{3} - 5}{3 x ^{2}} = \frac{2 x ^{3} + 5}{3 x ^{2}}$ 。

$g^{'} (x) = \frac{f ( x ) f ^{''} ( x )}{f ^{'} ( x ) ^{2}}$ より $g^{'} (α) = 0$ 。 $g^{''} (α) = \frac{f ^{''} ( α )}{f ^{'} ( α )}$ 。

テイラー展開 $x_{n + 1} - α = g (x_{n}) - g (α) = \frac{g ^{''} ( α )}{2} (x_{n} - α)^{2} + O ((x_{n} - α)^{3})$ より、
$C = \frac{f ^{''} ( α )}{2 f ^{'} ( α )} = \frac{6 α}{2 \cdot 3 α ^{2}} = \frac{1}{α} = \frac{1}{3 5} = 5^{- 1/3}$ 。

直接計算による検算: $e = x_{n} - α$ とおくと $x_{n + 1} - α = \frac{2 x ^{3} + 5 - 3 α x ^{2}}{3 x ^{2}}$ 。 $α^{3} = 5$ より分子は $2 x^{3} - 3 α x^{2} + α^{3} = (x - α)^{2} (2 x + α)$ 。よって $\frac{x _{n + 1} - α}{( x _{n} - α ) ^{2}} = \frac{2 x _{n} + α}{3 x _{n}^{2}} \to \frac{3 α}{3 α ^{2}} = \frac{1}{α}$ 。一致。

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