増減・凹凸・漸近線とグラフ

増減・凹凸・極限（漸近線）を調べて、指数・対数・三角関数を含む関数のグラフをかける

前提

第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）

この技能までの道筋（47 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）

説明

1 階・2 階の導関数と極限を組み合わせると、 $e^{- x^{2}}$ 、 $\frac{lo g x}{x}$ 、 $x + sin x$ のような指数・対数・三角関数を含む関数のグラフの概形をかけるようになります。 $y^{'}$ で増減と極値を、 $y^{''}$ で曲がり方（凹凸）と変曲点を、極限で端での振る舞い（漸近線）を調べます。これらを 1 つの表にまとめれば、点をたくさん取らなくても形の正しいグラフがかけます。方程式の実数解の個数を調べたり不等式を証明したりするときにも、こうしたグラフをよく使います。

なぜそうしてよいのか

グラフの形は、次の情報でほぼ決まります。(1) $y^{'}$ の符号から、どの区間で上りか下りか、どこが極値かがわかります（増減表）。(2) $y^{''}$ の符号から、どの区間で下に凸（ $y^{''} > 0$ 、接線の傾きが増える）か上に凸（ $y^{''} < 0$ ）か、どこで曲がり方が入れ替わるか（変曲点）がわかります。ただし (1)(2) でわかるのは、調べた区間の中での形だけです。定義域の端（ $x \to \pm \infty$ や、定義されない点の近く）でグラフがどこへ向かうかは、極限を調べないとわかりません。

そこで漸近線を使います。曲線が限りなく近づいていく直線を漸近線といいます。 $x \to \infty lim f (x) = b$ （または $x \to - \infty$ のとき）なら、直線 $y = b$ が漸近線です。 $x \to a$ （片側だけでもよい）で $f (x) \to \infty$ または $- \infty$ となるなら、直線 $x = a$ が漸近線です。さらに $x \to \infty lim {f (x) - (p x + q)} = 0$ となる直線 $y = p x + q$ も漸近線（斜めの漸近線）で、 $p = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ 、 $q = x \to \infty lim (f (x) - p x)$ で求めます。 $x \to - \infty$ のときも同様です。増減・凹凸・漸近線がそろうと、曲線の上り下り、曲がり方、端での行き先がわかり、概形を正しくかけます。

極限では「 $\infty \times 0$ 」の形がよく現れ、式の見た目だけでは値が決まりません。例として $x \to \infty lim \frac{x}{e ^{x}}$ を考えます。 $g (x) = e^{x} - (1 + x + \frac{x ^{2}}{2})$ とおくと、 $g^{'} (x) = e^{x} - 1 - x$ 、 $g^{''} (x) = e^{x} - 1$ です。 $x > 0$ で $g^{''} (x) > 0$ なので $g^{'} (x)$ は $x \geq 0$ で増加し、 $g^{'} (0) = 0$ より $x > 0$ で $g^{'} (x) > 0$ です。よって $g (x)$ も $x \geq 0$ で増加し、 $g (0) = 0$ より $x > 0$ で $g (x) > 0$ です。つまり $x > 0$ で $e^{x} > 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ です。さらに $x > 0$ では $1 + x > 0$ なので $1 + x + \frac{x ^{2}}{2} > \frac{x ^{2}}{2}$ であり、 $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ が成り立ちます。これから $0 < \frac{x}{e ^{x}} < \frac{2}{x}$ で、 $\frac{2}{x} \to 0$ なので、はさみうちにより極限は $0$ です。このように、増減を使って示した不等式で極限を確かめられます。

手順

定義域を確認し、対称性（ $f (- x) = f (x)$ なら $y$ 軸対称、 $f (- x) = - f (x)$ なら原点対称、三角関数なら周期）、関数値の符号、座標軸との交点を調べる。
$y^{'}$ を求めて符号を調べ、増減と極値を求める。 $e^{\dots} > 0$ のように常に正の因数は外し、残りの因数の符号だけを見るとよい。
$y^{''}$ を求めて符号を調べ、凹凸と変曲点を求める。変曲点になるのは、 $y^{''} = 0$ となる点のうち、前後で $y^{''}$ の符号が変わる点だけである。
定義域の端（ $x \to \pm \infty$ 、定義されない点の左右）での極限を求め、漸近線（ $y = b$ 、 $x = a$ 、 $y = p x + q$ ）を決める。
$x$ 、 $y^{'}$ 、 $y^{''}$ 、 $y$ の行をもつ表に増減と凹凸をまとめ、極値・変曲点・漸近線をかき込んでからグラフをかく。

例題

関数 $y = e^{- x^{2}}$ の増減、凹凸、漸近線を調べてグラフの概形をかけ。そのうえで、このグラフの変曲点のうち $x > 0$ の部分にあるものの座標を求めよ。

例題の解答

【手順1】定義域は実数全体です。 $f (- x) = e^{- (- x)^{2}} = e^{- x^{2}} = f (x)$ なので、グラフは $y$ 軸に関して対称です。そこで $x \geq 0$ の部分を調べます。常に $y > 0$ なので $x$ 軸とは交わらず、 $y$ 軸とは点 $(0, 1)$ で交わります。

【手順2】合成関数の微分より $y^{'} = - 2 x e^{- x^{2}}$ です。 $e^{- x^{2}} > 0$ なので、 $y^{'}$ の符号は $- 2 x$ の符号と同じです。 $x > 0$ で $y^{'} < 0$ （減少）、 $x < 0$ で $y^{'} > 0$ （増加）なので、 $x = 0$ で極大値 $1$ をとります。

【手順3】積の微分より
$y^{''} = - 2 e^{- x^{2}} + (- 2 x) \cdot (- 2 x) e^{- x^{2}} = 2 (2 x^{2} - 1) e^{- x^{2}}$
です。 $y^{''} = 0$ となるのは $x = \pm \frac{2}{2}$ のときです。 $x \geq 0$ では、 $0 \leq x < \frac{2}{2}$ で $y^{''} < 0$ （上に凸）、 $x > \frac{2}{2}$ で $y^{''} > 0$ （下に凸）です。前後で符号が変わるので、 $x = \frac{2}{2}$ で変曲点になり、そのとき $y = e^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{e}$ です。

【手順4】 $x \to \infty$ のとき $- x^{2} \to - \infty$ なので $e^{- x^{2}} \to 0$ です。対称性より $x \to - \infty$ でも同じです。よって直線 $y = 0$ （ $x$ 軸）が漸近線です。

【手順5】 $x \geq 0$ での増減表は次のとおりです。
$x y^{'} y^{''} y 00 - 1 \dots - - ↘ \frac{2}{2} - 0 \frac{1}{e} \dots - + ↘ (\infty) (0)$
$x = 0$ で極大値 $1$ 、 $x = \frac{2}{2}$ が変曲点です。 $0 < x < \frac{2}{2}$ では上に凸で減少、 $x > \frac{2}{2}$ では下に凸で減少し、 $0$ に近づきます。この部分を $y$ 軸について折り返すと、山の形（つりがね形）のグラフになります。グラフは $x$ 軸に限りなく近づきますが、 $y > 0$ なので交わりません。

したがって、求める変曲点の座標は $(\frac{2}{2}, \frac{1}{e})$ です。

答え: $(\frac{2}{2}, \frac{1}{e})$

よくある誤り

$y^{''} = 0$ となる点をそのまま変曲点としてしまう誤り。たとえば $y = x^{4}$ では $y^{''} = 12 x^{2}$ が $x = 0$ で $0$ になりますが、前後でともに $y^{''} > 0$ なので変曲点ではありません。正しくは、 $y^{''} = 0$ の点の前後で $y^{''}$ の符号が変わることを必ず確かめます。
「 $\infty \times 0$ 」の形の極限を、見た目で $0$ や $\infty$ と決めてしまう誤り。 $x \to \infty lim x e^{- x}$ は式の形だけでは決まりません。正しくは $\frac{x}{e ^{x}}$ と直し、増減から示した $e^{x} > 1 + x + \frac{x ^{2}}{2}$ と、 $x > 0$ で $1 + x > 0$ であることから $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ を導きます。そして $0 < \frac{x}{e ^{x}} < \frac{2}{x}$ とはさんで、極限が $0$ であることを示します。
漸近線について、関数値の符号を確かめずに交わるかどうかを決めてしまう誤り。漸近線は曲線と交わることもあります。たとえば $y = \frac{sin x}{x}$ は $x \to \infty$ で $y = 0$ に近づきますが、 $x = π, 2 π, \dots$ で何度も $x$ 軸と交わります。一方 $y = e^{- x^{2}}$ は常に $y > 0$ なので、 $x$ 軸に限りなく近づいても交わりません。正しくは、関数値の符号や方程式 $f (x) = b$ の解を調べて、交わるかどうかを決めます。
定義されない点の近くの極限を調べ忘れ、縦の漸近線を見落とす誤り。 $y = \frac{lo g x}{x}$ の定義域は $x > 0$ です。 $x \to + 0$ のとき $lo g x \to - \infty$ 、 $\frac{1}{x} \to + \infty$ なので $y \to - \infty$ となり、直線 $x = 0$ が漸近線です。正しくは、最初に定義域を確認し、その端すべてで極限を調べます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

微分を使った不等式の証明（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
保存量を使った周期軌道上の最大・最小（大学数学数理モデル）