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偏微分方程式の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学偏微分方程式

$u = u (x, t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$u_{t} + u u_{x} = - u (x \in R, t > 0), u (x, 0) = - 3 tanh x (x \in R)$
を考える。 $R \times [0, T)$ 上でこの初期値問題の $C^{1}$ 級の解（古典解）が存在するような $T > 0$ の上限を $T^{*}$ とする。特性曲線の方法を用いて $T^{*}$ を求めよ。

この問題で使うもの

特性曲線の方法（変数係数の 1 階線形）（説明と入口の問題）
変数分離形（説明と入口の問題）
1 階線形微分方程式（説明と入口の問題）
合成関数の微分（説明と入口の問題）
指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）
多変数の連鎖律（説明と入口の問題）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（説明と入口の問題）
関数の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（60 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

特性曲線 $d x / d t = u$ に沿って $u$ がどう変化するかを調べ、 $u$ と $x$ を初期位置 $ξ$ と $t$ で表しましょう。

ヒント 2

特性方程式を解くと $u = u_{0} (ξ) e^{- t}$ 、 $x = ξ + u_{0} (ξ) (1 - e^{- t})$ となります。古典解が存在する限界は、 $\partial x / \partial ξ$ が初めて $0$ になる時刻です。

ヒント 3

$\partial x / \partial ξ = 1 - 3 (1 - e^{- t}) / cosh^{2} ξ$ です。これが最も小さくなるのは $ξ = 0$ のときなので、 $1 - 3 (1 - e^{- t}) = 0$ を $t$ について解きます。

答えと解説

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lo g \frac{3}{2}

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解説を読む

初期値を $u_{0} (x) = - 3 tanh x$ とおく。

特性曲線. 曲線 $x = x (t)$ 上で $v (t) = u (x (t), t)$ とおくと $v^{'} (t) = u_{t} + x^{'} (t) u_{x}$ である。そこで $x^{'} (t) = u$ となるように曲線をとれば、方程式から $v^{'} (t) = - v (t)$ となる。よって特性方程式は
$\frac{d x}{d t} = u, \frac{d u}{d t} = - u, x (0) = ξ, u (0) = u_{0} (ξ)$
である。第 2 式から $u = u_{0} (ξ) e^{- t}$ 、これを第 1 式に代入して積分すると
$x = ξ + u_{0} (ξ) (1 - e^{- t}) .$
つまり $u$ は特性曲線に沿って $u_{0} (ξ) e^{- t}$ という値をとる。

特性曲線が交わらない条件. 時刻 $t$ を固定し、写像 $ξ \mapsto x (ξ, t)$ を考えると
$\frac{\partial x}{\partial ξ} = 1 + u_{0}^{'} (ξ) (1 - e^{- t}) = 1 - \frac{3 ( 1 - e ^{- t} )}{cosh ^{2} ξ} .$
$\frac{1}{cosh ^{2} ξ}$ の最大値は $ξ = 0$ でとる $1$ である。したがって、すべての $ξ$ について $\frac{\partial x}{\partial ξ} > 0$ となる条件は
$1 - 3 (1 - e^{- t}) > 0 ⟺ e^{- t} > \frac{2}{3} ⟺ t < lo g \frac{3}{2} .$

- $t < lo g \frac{3}{2}$ のとき： $ξ \mapsto x$ は狭義単調増加である。さらに $u_{0}$ は有界なので $ξ \to \pm \infty$ で $x \to \pm \infty$ となり、この写像は $R$ から $R$ への $C^{1}$ 級の微分同相になる。逆写像 $ξ = ξ (x, t)$ を用いて $u (x, t) = u_{0} (ξ (x, t)) e^{- t}$ と定めれば $C^{1}$ 級の解が得られる。したがって $T^{*} \geq lo g \frac{3}{2}$ である。
- 解の導関数：連鎖律より
$u_{x} = \frac{u _{0}^{'} ( ξ ) e ^{- t}}{\partial x / \partial ξ} .$
原点から出る特性曲線 $ξ = 0$ 上では $u_{0}^{'} (0) = - 3$ なので
$u_{x} = \frac{- 3 e ^{- t}}{1 - 3 ( 1 - e ^{- t} )} = \frac{- 3 e ^{- t}}{3 e ^{- t} - 2} .$
$t \to lo g \frac{3}{2} - 0$ のとき分母 $\to + 0$ となり、 $u_{x} \to - \infty$ である。よって $t = lo g \frac{3}{2}$ を越えて $C^{1}$ 級の解を延長することはできない（それ以後は $ξ = 0$ の近くの特性曲線どうしが交わり、解が一価に定まらない）。

以上より
$T^{*} = lo g \frac{3}{2} .$

別解

特性曲線は $\frac{d x}{d t} = u, \frac{d u}{d t} = - u$ で与えられる。出発点を $x (0) = ξ$ とすると、 $u = u_{0} (ξ) e^{- t}$ である。ここで $u_{0} (ξ) = - 3 tanh ξ$ とおく。

これを $x$ の式に代入して積分すると
$x = ξ + u_{0} (ξ) \int_{0}^{t} e^{- τ} d τ = ξ + u_{0} (ξ) (1 - e^{- t})$
となる。 $s = 1 - e^{- t} \in [0, 1)$ とおくと $x = ξ + s u_{0} (ξ)$ である。

古典解が存在するための条件は、写像 $ξ \mapsto x$ が各 $t$ で $C^{1}$ 級の全単射（微分同相）になることである。そのために必要十分な条件は
$\frac{\partial x}{\partial ξ} = 1 + s u_{0}^{'} (ξ) = 1 - 3 s sech^{2} ξ > 0$
がすべての $ξ$ で成り立つことである。

$sech^{2} ξ \leq 1$ で、等号は $ξ = 0$ のときだけ成り立つ。よって $min u_{0}^{'} = - 3$ であり、 $ξ = 0$ で達成される。したがって条件は $1 - 3 s > 0$ 、すなわち $s < 1/3$ と同値である。

$s < 1/3$ のとき、 $ξ \mapsto x$ は狭義単調増加で、 $ξ \to \pm \infty$ で $x \to \pm \infty$ となるので $R$ 上の全単射になる。このとき解は $C^{1}$ 級で存在する。

$s = 1/3$ では $ξ = 0$ で勾配が発散する。これは $u_{x} = \frac{u _{0}^{'} ( ξ ) e ^{- t}}{1 + s u _{0}^{'} ( ξ )}$ の分母が $0$ になることから分かる。

$s = 1 - e^{- t} = 1/3$ より $e^{- t} = 2/3$ 、すなわち $t = lo g (3/2)$ である。この値は $s < 1$ の範囲に入っているので、減衰があっても破綻が起こる。

検算として、 $u_{0}^{'} (0) = - 3$ のとき $\partial x / \partial ξ = 1 - 3 (1 - e^{- t})$ である。これは $t = lo g (3/2)$ で $1 - 3 \cdot \frac{1}{3} = 0$ となり、上の結果と一致する。

よって $T^{*} = lo g \frac{3}{2}$ である。

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