三角関数の導関数

関数 $$f(x)=3\sin x+2\cos x+\tan x$$ について、微分係数 $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=2\sin x+\tan x$ について、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

関数 $$f(x)=\sin x+2\cos x+\tan x$$ について、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

連続な関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ について
$${\int }_0^{x}f(t)dt=x^3+\sin 2x$$
を満たしている。$f(x)$ を求めよ。

$A,k$ を実数の定数とし、
$$u(x,t)=A{e}^{kt}\sin 2x$$
とおく。この関数が次の熱方程式の初期値・境界値問題の解になるとき、組 $(A,k)$ を求めよ。
$$u_t=3u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),u(x,0)=5\sin 2x(0\le x\le \pi ).$$

${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級の未知関数 $u=u(x,t)$ に対する 1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+(\cos t)u_x=t((x,t)\in {\mathbb{R}}^2),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
を考える。この初期値問題の解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

関数 $f(x)=e^{2x}\sin x$ について、すべての実数 $x$ に対して
$$f^{\prime \prime }(x)-a{f}^{\prime }(x)+bf(x)=0$$
が成り立つような定数 $a,b$ の値を求めよ。答えは組 $(a,b)$ の形で答えよ。

関数 $f(x)=e^{2x}\cos x$ について、すべての実数 $x$ で
$$f^{\prime \prime }(x)+a{f}^{\prime }(x)+bf(x)=0$$
が成り立つような定数 $a,b$ の値を求めよ。答えは $(a,b)$ の組で答えよ。

$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=x^{\sin x}$$
について、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(e^t\cos t,e^t\sin t,e^t\right)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の $t$ に対応する点での曲率を $\kappa (t)$、ねじれ率を $\tau (t)$ とする。ただし、ねじれ率の符号は
$$\tau =\frac{\det (c^{\prime }(t),c^{\prime \prime }(t),c^{\prime \prime \prime }(t))}{|c^{\prime }(t)\times c^{\prime \prime }(t){|}^2}$$
で定める（右巻きの常螺旋 $(\cos t,\sin t,t)$ のねじれ率が正になる流儀）。このとき、比 $\frac{\tau (t)}{\kappa (t)}$ は $t$ によらない定数になる。その値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{n}tdt$$
とおく。このとき
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{I}_n=\sqrt{2\pi }$$
であることを証明せよ。ただし、ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-s^2/2}ds=\sqrt{2\pi }$ は用いてよい。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-5y\\ y^{\prime }=x-y\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=1$ を満たすとする。$x\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$x+2\cos x=k(0\leqq x\leqq 2\pi )$$
が異なる実数解をちょうど $3$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

関数 $$f(x)=e^{\cos x}\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$$ の最大値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

関数 $$f(x)={\sin }^{3}x\cos x\left(0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}\right)$$ の最大値を求めよ。

媒介変数 $t$ を用いて $$x=e^t\cos t,y=e^t\sin t(0\leqq t\leqq \pi )$$ と表される曲線の長さ $L$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=8e^{-x}\cos 2x$$ と初期条件 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=-1$ を満たすとする。$y\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

$n$ を正の整数とし、$A$ を $A^2=-E$（$E$ は $n$ 次単位行列）を満たす $n$ 次実正方行列とする（このような $A$ が存在するのは $n$ が偶数のときに限られる）。$\mathbf{x}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^n$ は微分可能な関数で、すべての実数 $t$ に対して
$${\mathbf{x}}^{\prime }(t)=A\mathbf{x}(t)$$
を満たすとする。このとき、すべての実数 $t$ に対して
$$\mathbf{x}(t)=(\cos t)\mathbf{x}(0)+(\sin t)A\mathbf{x}(0)$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、微分方程式の解の存在と一意性の定理は用いずに示すこと（平均値の定理、積の微分公式は用いてよい）。

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{(\sin x+\cos x{)}^2}dx$$

次の無限級数の和 $S$ を求めよ。
$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{1}{(3n+1{)}^3}-\frac{1}{(3n+2{)}^3}\right)$$
ただし $n$ は $0$ 以上の整数を動く。答えは円周率 $\pi$ と根号を用いて表せ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$e^x\sin x=k(0\leqq x\leqq 3\pi )$$
が、異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x^2\cos x}{(1+\sin x{)}^2}dx$$

区間 $0\le x\le \frac{\pi }{2}$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+y=4x\cos x$$ と境界条件 $y(0)=0$, $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する非線形 1 階偏微分方程式（ハミルトン・ヤコビ方程式）の初期値問題
$$u_t+\frac{1}{2}(u_x{)}^2+\frac{1}{2}{x}^2=0\left(x\in \mathbb{R},0<t<\frac{\pi }{2}\right),u(x,0)=x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。この問題は $\mathbb{R}\times \left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上の $C^2$ 級の解 $u$ をただ一つもつ（このことは認めてよい）。特性曲線の方法（特性方程式）を用いて $u$ を求め、値 $u\left(1,\frac{\pi }{3}\right)$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\leqq x\leqq \pi$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式 $$\sin x\geqq ax(\pi -x)$$ が成り立つような $a$ の最大値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$x\geqq 0$ で定義された関数 $$f(x)=e^x-a\cos x$$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$x\geqq 0$ のすべての実数 $x$ に対して $f^{\prime }(x)\geqq 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。