積分法の問題

求める積分を $I$ とおく。

手順1：1回目の部分積分

$t=1+\sin x$ とおくと $dt=\cos xdx$ なので、
$$\int \frac{\cos x}{(1+\sin x{)}^2}dx=\int \frac{dt}{t^2}=-\frac{1}{t}+C=-\frac{1}{1+\sin x}+C$$
となる。そこで $u=x^2$、$v^{\prime }=\frac{\cos x}{(1+\sin x{)}^2}$ として部分積分すると、
$$I={\left[-\frac{x^2}{1+\sin x}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{2x}{1+\sin x}dx.$$
$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $1+\sin x=2$、$x=0$ のとき $x^2=0$ であるから、
$${\left[-\frac{x^2}{1+\sin x}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=-\frac{{\pi }^2/4}{2}-0=-\frac{{\pi }^2}{8}.$$
よって
$$I=-\frac{{\pi }^2}{8}+2J,J={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x}{1+\sin x}dx.$$

手順2：$\frac{1}{1+\sin x}$ の原始関数

$${\left(-\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)}^{\prime }=-\frac{(-\sin x)(1+\sin x)-\cos x\cdot \cos x}{(1+\sin x{)}^2}=\frac{\sin x+{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{(1+\sin x{)}^2}=\frac{1+\sin x}{(1+\sin x{)}^2}=\frac{1}{1+\sin x}.$$
したがって $-\frac{\cos x}{1+\sin x}$ は $\frac{1}{1+\sin x}$ の原始関数の1つである。

（参考：$\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1-\sin x}{{\cos }^{2}x}$ と変形して積分すると $\tan x-\frac{1}{\cos x}=\frac{\sin x-1}{\cos x}$ が得られる。これは $0\le x<\frac{\pi }{2}$ で $-\frac{\cos x}{1+\sin x}$ と一致する。）

手順3：$J$ の計算（2回目の部分積分）

$u=x$、$v^{\prime }=\frac{1}{1+\sin x}$ として部分積分すると、
$$J={\left[-\frac{x\cos x}{1+\sin x}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{1+\sin x}dx.$$
$x=\frac{\pi }{2}$ のとき $\cos x=0$、$x=0$ のとき $x=0$ なので、境界項は $0$ である。

残りの積分は $t=1+\sin x$ と置換すると、$x:0\to \frac{\pi }{2}$ に対して $t:1\to 2$ となるから、
$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{1+\sin x}dx={\int }_1^2\frac{dt}{t}=\log 2.$$
よって $J=\log 2$ である。

手順4：まとめ

$$I=-\frac{{\pi }^2}{8}+2\log 2=2\log 2-\frac{{\pi }^2}{8}.$$
（数値は約 $1.386-1.234=0.153$ で、被積分関数が区間内で $0$ 以上であることと矛盾しない。）

部分積分を使う。$\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{1+\sin x}\right)=\frac{\cos x}{(1+\sin x{)}^2}$ なので、
$$I={\left[-\frac{x^2}{1+\sin x}\right]}_0^{\pi /2}+{\int }_0^{\pi /2}\frac{2x}{1+\sin x}dx=-\frac{{\pi }^2}{8}+2J.$$
ここで $J={\int }_0^{\pi /2}\frac{x}{1+\sin x}dx$ とおく。$\frac{d}{dx}\left(-\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)=\frac{1}{1+\sin x}$ が成り立つ。実際、$\frac{d}{dx}\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{-\sin x(1+\sin x)-{\cos }^{2}x}{(1+\sin x{)}^2}=\frac{-1}{1+\sin x}$ である。
再び部分積分して
$$J={\left[-\frac{x\cos x}{1+\sin x}\right]}_0^{\pi /2}+{\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{1+\sin x}dx=0+{\left[\ln (1+\sin x)\right]}_0^{\pi /2}=\ln 2.$$
よって $I=2\ln 2-\frac{{\pi }^2}{8}$。
検算：数値では $2\ln 2-{\pi }^2/8\approx 1.3863-1.2337=0.1526$。被積分関数の値（$x=0.5$ で約 $0.100$、$x=1$ で約 $0.159$、$x=1.3$ で約 $0.117$）から見積もった積分値とも整合する。