部分積分

関数 $F(x)$ は、すべての実数 $x$ について
$$F^{\prime }(x)=x\cos x,F(0)=0$$
を満たす。$F(x)$ を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\cos xdx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\cos xdx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\left(x^3\cos x+x\sin x\right)dx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_{-\pi }^{\pi }\left(x^3+x\sin x\right)dx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_{-\pi }^{\pi }(x^2+x)\sin xdx$$

関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x\leqq \pi$ で $f(x)=x$ とし、周期 $2\pi$ で実数全体に拡張した周期関数とする。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
とし、係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
で定める。正の整数 $n$ に対して、$b_n$ を $n$ の式で求めよ。

関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x\leqq \pi$ において $f(x)=x$ とし、周期 $2\pi$ で実数全体に拡張した関数とする。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
と表す。ここで、フーリエ係数は
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。正の整数 $n$ に対して、$b_n$ を $n$ の式で求めよ。

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x<\pi$ で $f(x)=x$ となるように定める。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
と表すとき、フーリエ係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。

関数 $f(x)=x(0\le x\le \pi )$ を奇関数として区間 $-\pi \le x\le \pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の関数に拡張して、正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。

区間 $0\le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ を奇関数として区間 $-\pi <x<\pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の周期関数に拡張する。こうして得られる関数の正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
の係数 $b_n$ を、正の整数 $n$ の式で求めよ。

区間 $0\le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ を奇関数として区間 $-\pi <x<\pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の周期関数に拡張して、正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=x(1-x)(0\le x\le 1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によってこの問題の解 $u$ を求め、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従い、その確率密度関数は
$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよいものとして、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)$ を求めよ。

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。すなわち $Z$ の確率密度関数は
$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよい。このとき、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)$ を求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。つまり、$Z$ の確率密度関数は
$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。このとき、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)={\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^{4}f(z)dz$ を求めよ。必要なら、ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ と、任意の 0 以上の整数 $n$ について $\underset{z\to \pm \infty }{\lim }{z}^n{e}^{-\frac{z^2}{2}}=0$ であることを用いてよい。

$n$ を正の整数とし、$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x\mid \theta )=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }(x>0)$$
（$x\le 0$ では $f(x\mid \theta )=0$）の指数分布に従う確率変数とする。ここで $\theta >0$ は未知の母数である。$X_1,\dots ,X_n$ にもとづく $\theta$ の不偏推定量の分散に対するクラメール・ラオの下限を、$\theta$ と $n$ を用いて求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }\frac{nx}{1+nx}x{e}^{-2x}dx$$
とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^1{x}^2{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}dx$$
とおく（積分は区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}x{e}^{-3x}dx$$
とおく（積分は $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ（パラメータ $1$ の指数分布に従う）とする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]={\int }_{\Omega }n\sin \frac{X(\omega {)}^2}{n}P(d\omega )$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が、確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[n\sin \frac{X^2}{n}\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$G_n=\{(1+X_1)(1+X_2)\cdots (1+X_n){\}}^{1/n}$$
とおく。$n\to \infty$ のとき $G_n$ は確率 $1$ である定数 $L$ に収束する。$L$ の値を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも平均 $1$ の指数分布（確率密度関数 $f(x)=e^{-x}(x\ge 0)$、$f(x)=0(x<0)$）に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{X}_k{e}^{-X_k}$$
とおく。確率 $1$ で極限 $L=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ が存在し、$L$ は定数になる。この定数 $L$ を求めよ。

確率空間上の確率変数列 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で、どれも確率密度関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ指数分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$S_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\sin X_k$$
とおく。$n\to \infty$ のとき、$S_n$ は確率 $1$ で定数 $L$ に収束する。この $L$ の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$ で考える。部分空間
$$M=\left\{f\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xf(x)dx=0\right\}$$
を考える。$f$ が $M$ 全体を動くときの
$${\int }_0^1{\left(e^x-f(x)\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

実ヒルベルト空間 $L^2([0,\pi ])$（ルベーグ測度に関する 2 乗可積分な実数値関数全体。内積は $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)g(x)dx$）において、関数系
$$e_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin nx(n=1,2,3,\dots )$$
は正規直交基底であることが知られている。この事実と関数 $f(x)=x(\pi -x)$ に対するパーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{\sin x}\sin 2xdx$$

座標平面上で、曲線 $y=\log x$、$x$ 軸および直線 $x=e$ で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

次の定積分の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_0^{\pi }{e}^x\sin xdx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{x}^2\sin xdx$$

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }{x}^3{e}^{-x^2}dx$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime }+2y=4x$$ と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f$ を $f(x)=x(\pi -|x|)$ で定める。$f$ のフーリエ級数とパーセバルの等式を用いて、級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の局所可積分関数 $\log |x|$ を緩増加超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=\frac{d^2}{d{x}^2}\log |x|$ とする。急減少関数 $\phi (x)=e^{-x^2}$ に対し、$⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$L_n={\int }_0^{\infty }n\log \left(1+\frac{x}{n}\right)e^{-2x}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$ の値を求めよ。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\sin x& (0\le x\le \pi )\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中で基底状態
$${\psi }_1(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}(0<x<L),{\psi }_1(x)=0(\text{それ以外})$$
にある。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）とし、位置と運動量の標準偏差を $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$, $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ で定める。この状態における積 $\Delta x\Delta p$ を $\hslash$ を用いて表せ。

$u=u(x,t)$ に対するノイマン境界条件付きの熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
の解を、変数分離法により余弦フーリエ級数で表されるものとする。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }\left(u(0,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$\hat{f}(\pi )$ の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n\ge 0),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n\ge 1)$$
とする。これらの係数を計算し、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $\pi$ と $e^{2\pi }$ を用いた式で表せ（双曲線関数は用いないこと）。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (0\leqq x\leqq 1)\\ 0& (x<0\text{ または }x>1)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ここで $i$ は虚数単位である。$\hat{f}(\pi )$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。このとき $\hat{f}(1)$ の値を求めよ。

区間 $[-\pi ,\pi ]$ 上で区分的に連続な実数値関数 $f$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。このとき成り立つパーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
は用いてよい。

関数 $f(x)=|x|(-\pi \le x\le \pi )$ のフーリエ係数を計算し、パーセバルの等式を用いて
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}=\frac{{\pi }^4}{96}$$
が成り立つことを証明せよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式のノイマン境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は、変数分離とフーリエ余弦級数によって得られる解とする。このとき
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }{\left(u(x,t)-\frac{\pi }{2}\right)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。

区間 $[1,e]$ 上の $C^2$ 級の実数値関数 $y(x)$ で、境界条件 $y(1)=0$, $y(e)=0$ と積分制約
$${\int }_1^{e}y(x{)}^{2}dx=1$$
を満たすものの全体を $\mathcal{A}$ とする。汎関数
$$J[y]={\int }_1^e{x}^2{y}^{\prime }(x{)}^{2}dx$$
の $\mathcal{A}$ における最小値を求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$Y={\int }_0^1{e}^{W_t}d{W}_t,X={\int }_0^1{W}_{t}d{W}_t$$
を考える。実数 $a,b$ に対して
$$F(a,b)=E\left[{\left(Y-a{W}_1-bX\right)}^2\right]$$
とおくとき、$F(a,b)$ の最小値（$a,b$ が実数全体を動くときの最小値）を求めよ。

曲線 $y=(\log x{)}^2(x>0)$ と直線 $y=1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

座標平面上において、曲線 $y=e^x$、直線 $y=e$ および $y$ 軸で囲まれた部分を $D$ とする。$D$ を $y$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_0^{\sqrt{3}}{x}^3{e}^{x^2}dx$$

曲線 $y=\sqrt{x}\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$ と $x$ 軸で囲まれた部分を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

2 曲線 $y=x{e}^{-x}$ と $y=x^2{e}^{-x}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

$n$ を正の整数とし、
$$I_n={\int }_0^n{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^n{x}^2{e}^{x/3}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log (1+x^2)}{x^2}dx$$
の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\log \left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx$$
の値を求めよ。

実数 $x,y$ に対して
$$u(x,y)=e^x(x\cos y-y\sin y)+2xy$$
とおく。実数値関数 $v(x,y)$ は、$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ $(z=x+iy)$ が複素平面全体で正則となり、かつ $f(0)=0$ を満たすものとする。このとき $v\left(1,\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

$x\ge 1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式 $$x{y}^{\prime }+y=y^2\log x$$ と初期条件 $y(1)=1$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$\theta >0$ を未知の母数、$n$ を正の整数とする。$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立に、確率密度関数
$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
をもつ分布に従う。$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$ とおく。${\theta }^2$ の最尤推定量は ${\bar{X}}^2$ であるが、これは ${\theta }^2$ の不偏推定量ではない。$n$ のみによる定数 $c_n$ で、$c_n{\bar{X}}^2$ がすべての $\theta >0$ に対して ${\theta }^2$ の不偏推定量となるものを $n$ の式で表せ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を $f(x)=|x|$, $g(x)=e^{-2|x|}$ で定め、その畳み込み
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }|x-y|e^{-2|y|}dy(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$f,g$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて、実数 $x$ に対する $u(x)$ を $x$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=2u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(\pi -x)(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の解を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて $u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{e}^{-2n^{2}t}\sin nx$ の形で求めたうえで、
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t)dxdt$$
の値を求めよ。ただし、必要なら $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}=\frac{{\pi }^6}{945}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{[0,1{]}^n}\frac{n(x_1{x}_2\cdots x_n{)}^{1/n}}{x_1+x_2+\cdots +x_n}d{x}_{1}d{x}_2\cdots d{x}_n$$
とおく（被積分関数は $x_1+\cdots +x_n>0$ となる点で定め、測度 $0$ の残りの集合は無視する）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

水素原子の電子の $n=2,l=1$ の状態（2p 状態）の動径波動関数は、ボーア半径を $a$ として
$$R_{21}(r)=\frac{1}{\sqrt{24}}{a}^{-3/2}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}$$
である。波動関数は ${\psi }_{21m}(r,\theta ,\varphi )=R_{21}(r)Y_{1m}(\theta ,\varphi )$（$Y_{1m}$ は規格化された球面調和関数）で、原子核は静止した点とみなす。

電子が 2p 状態（$m$ は $-1,0,1$ のどれでもよい）にあるとき、原子核からの距離が $r$ と $r+dr$ の間に見いだされる確率を $P(r)dr$ とする。$P(r)$ が最大となる距離を $r_{\mathrm{p}}$ とするとき、電子が原子核から距離 $r_{\mathrm{p}}$ 未満の範囲に見いだされる確率を求めよ。

水素原子の電子（質量 $m$、電荷 $-e$）を考える。原子核（陽子）は静止しているとみなし、電子が受けるポテンシャルを $$V(r)=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$ とする（$r$ は原子核からの距離、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。ボーア半径を $a=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m{e}^2}$ とすると、基底状態のエネルギーは $$E_1=-\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}a}$$ であり、規格化された基底状態の波動関数は $${\psi }_{100}(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}{e}^{-r/a}$$ である。スピンは考えない。

電子が基底状態にあるとき、古典的には電子が入れない領域、すなわち $V(r)>E_1$ となる領域に電子を見いだす確率を求めよ。答えは正確な値で答えよ。

$2$ 以上の整数 $n$ に対し $$A_n={\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^n}dx$$ とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$B_n={\int }_0^{\pi /2}{x}^4{\cos }^{n}xdx$$
とおく（積分は区間 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^{5/2}{B}_n$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=x(\pi -|x|)$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
の係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数
$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},h(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$$
を考える。$g$, $h$ のフーリエ変換、畳み込みのフーリエ変換の性質、パーセバルの等式などを利用して、定積分
$$J={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $\omega =0$ で連続に拡張したもの（値 $1$）とする。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $e$ と $\pi$ を用いて表せ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、$({\mathcal{F}}_t{)}_{t\ge 0}$ をその自然なフィルトレーションとする。伊藤積分
$$X={\int }_0^1(W_t+t)d{W}_t,Y={\int }_0^1{e}^{W_t}d{W}_t$$
を考える。共分散 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$ を求めよ。

インパルス応答が
$$h(t)=t{e}^{-t}u(t)$$
で与えられる連続時間の線形時不変系に、幅 $1$ の矩形パルス
$$x(t)=u(t)-u(t-1)$$
を入力する。ここで $t$ は時刻（単位は s）、$u(t)$ は単位ステップ関数（$t\ge 0$ で $1$、$t<0$ で $0$）であり、系は $t<0$ で静止している（出力は $0$）とする。

出力 $y(t)$ が最大値をとる時刻 $t$ を求めよ。

$a$ を正の実数とする。広義積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx$$
は収束し、その値が $\frac{\pi \log a}{2a}$ であることを証明せよ。ただし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であること、および「区間上で $0\le f(x)\le g(x)$ を満たす連続関数 $f,g$ について、$g$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」こと（比較判定法）、「$|f|$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」ことは用いてよい。