フーリエ解析の問題

$\mathbb{R}$ 上の局所可積分関数 $\log |x|$ を緩増加超関数とみなし、その超関数の意味での（$1$ 階の）導関数を $S=\frac{d}{dx}\log |x|$ とする。急減少関数
$$\phi (x)=(1+3x)e^{-x^2}$$
に対して、$⟨S,\phi ⟩$ の値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよい。

$\mathcal{D}(\mathbb{R})=C_c^{\infty }(\mathbb{R})$ を試験関数の空間とし、ヘヴィサイド関数を $H(x)=\{\begin{array}{ll}1& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$ で定める。局所可積分関数
$$u(x)=|x|+3H(x)(x\in \mathbb{R})$$
を超関数 $⟨u,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)\phi (x)dx$ とみなし、その超関数の意味での 2 階導関数を $u^{\prime \prime }$ とする。試験関数 $\phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ が $\phi (0)=2$, ${\phi }^{\prime }(0)=5$ を満たすとき、$⟨u^{\prime \prime },\phi ⟩$ の値を求めよ。

区間 $[0,1]$ の指示関数を $\chi ={\chi }_{[0,1]}$ とし、$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を $3$ 重の畳み込み
$$u=\chi \ast \chi \ast \chi ,(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
で定める。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=u^{\prime \prime }$ とする。$T$ はコンパクトな台をもつので、任意の $C^{\infty }$ 級関数 $\phi$ に対して $⟨T,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x){\phi }^{\prime \prime }(x)dx$ が定まる。$\phi (x)=e^{2x}$ のとき、$⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=|x|e^{-|x|},g(x)={\chi }_{[0,1]}(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le x\le 1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の緩増加超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて
$$T={\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)}^{2}u=u^{\prime \prime \prime \prime }-2u^{\prime \prime }+u$$
とおく。急減少関数 $\phi (x)=x{e}^{-x^2}$ に対して $⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。ただし超関数 $S$ の微分は $⟨S^{\prime },\phi ⟩=-⟨S,{\phi }^{\prime }⟩$ で定め、局所可積分関数 $h$ と同一視される超関数は $⟨h,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)\phi (x)dx$ で作用するものとする。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $h,f$ を
$$h(x)=|x|e^{-|x|},f(x)=e^{-|x|}$$
で定める。$h$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=h^{\prime \prime }$ とする。$T$ と $f$ の畳み込み $T\ast f$ は $\mathbb{R}$ 上の連続関数として表される。$x\ge 0$ における $(T\ast f)(x)$ を $x$ の式で求めよ。