ガウス積分

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$
の値を求めよ。ただし、$I$ が収束することは認めてよい。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2x^2}dx$$
の値を求めよ。ただし、$I^2$ を $xy$ 平面全体での重積分に直し、極座標に変換して計算すること。

広義積分
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{x^2}{4}}dx$$
の値を求めよ。

実数 $x$ と $t\ge 0$ に対して、関数 $u(x,t)$ についての熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$x$ についてのフーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$ と定める。フーリエ変換を用いて、この初期値問題の有界な解 $u(x,t)$（$t>0$）を $x,t$ の式で求めよ。

実数全体 $\mathbb{R}$ 上の熱方程式の初期値問題
$$u_t=u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は $\mathbb{R}\times [0,\infty )$ で連続かつ有界で、$t>0$ では $C^2$ 級の解とする。フーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。フーリエ変換を用いて、解 $u(x,t)$（$t>0$）を $x,t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t\ge 0$ に対して定義された関数 $u(x,t)$ についての熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は各 $t\ge 0$ で $x$ について急減少する（フーリエ変換が使える）滑らかな解とする。フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$ で定め、フーリエ変換を用いて解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t>0$ に対して、関数 $u(x,t)$ に関する熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。熱核
$$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{e}^{-\frac{x^2}{4t}}$$
との畳み込み $u(x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(x-y,t)e^{-y^2}dy$ で与えられる解（有界な解）を、$x$ と $t$ の式で求めよ。

実数 $x$ と $t>0$ に対して、関数 $u(x,t)$ は熱方程式の初期値問題
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
の有界な解とする。フーリエ変換を用いて、$u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

ただし、フーリエ変換とその逆変換は次で定める。
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$$
また、$a>0$ に対して ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}{e}^{-ix\xi }dx=\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-{\xi }^2/(4a)}$ が成り立つことは用いてよい。

$x\in \mathbb{R}$, $t>0$ における熱方程式の初期値問題
$$u_t=u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$u$ は $\mathbb{R}\times [0,\infty )$ で連続かつ有界な古典解とする。フーリエ変換を $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$、逆変換を $f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )e^{ix\xi }d\xi$ と定める。フーリエ変換を用いて解 $u(x,t)$ を $x,t$ の式で求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従い、その確率密度関数は
$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよいものとして、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)$ を求めよ。

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。すなわち $Z$ の確率密度関数は
$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよい。このとき、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)$ を求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。つまり、$Z$ の確率密度関数は
$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。このとき、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)={\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^{4}f(z)dz$ を求めよ。必要なら、ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ と、任意の 0 以上の整数 $n$ について $\underset{z\to \pm \infty }{\lim }{z}^n{e}^{-\frac{z^2}{2}}=0$ であることを用いてよい。

$\mathbb{R}$ 上の局所可積分関数 $\log |x|$ を緩増加超関数とみなし、その超関数の意味での $2$ 階導関数を $T=\frac{d^2}{d{x}^2}\log |x|$ とする。急減少関数 $\phi (x)=e^{-x^2}$ に対し、$⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。

質量 $m$ の非相対論的な粒子が、中心力ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r^2/a^2}(V_0\text{ は実定数},a>0)$$
によって散乱される。入射粒子の波数を $k>0$（エネルギー $E={\hslash }^2{k}^2/(2m)$）とし、散乱振幅は第 1 ボルン近似で評価する。散乱振幅 $f$ は、入射平面波 $e^{ikz}$ に対して漸近形 $\psi \sim e^{ikz}+f(\theta )e^{ikr}/r$ で定義する。このとき、全断面積 $\sigma$ を $m,V_0,a,k,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の $N$ 個の粒子が、3 次元空間で、原点からの距離 $r$ だけによるポテンシャル $V(r)=Ar$（$A$ は正の定数）の中に閉じ込められている。粒子どうしの相互作用は無視でき、系は温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。粒子は古典的に扱ってよい（古典統計力学の正準分布に従い、粒子の内部自由度は考えない）。ボルツマン定数を $k_B$ とする。正準分配関数を計算して、この系の熱容量を $N,k_B$ を用いて表せ。

断面積が一定で、高さ $H$ の鉛直に立てた密閉容器の中に、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が入っている。容器内には鉛直下向きの一様な重力（重力加速度の大きさ $g$）がはたらき、容器の底を高さ $0$ として、高さ $z$ にある分子は位置エネルギー $mgz$（$0\leqq z\leqq H$）をもつ。気体は温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にあり、分子は古典的に扱ってよい（分子間の相互作用と分子の内部自由度は無視する）。ボルツマン定数を $k_B$ とし、$x=\frac{mgH}{k_{B}T}$ とおく。容器の体積を一定に保ったときのこの気体の熱容量を、$N,k_B,x$ を用いて表せ。

$2$ 以上の整数 $n$ に対し $$A_n={\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^n}dx$$ とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$ の値を求めよ。

質量 $m$ の粒子が、中心力ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r^2/a^2}(V_0\text{は実数の定数},a>0)$$
によって散乱される。$\hslash$ はディラック定数とする。入射波を $e^{ikz}$（$k>0$ は波数）とし、遠方での波動関数を
$$\psi (\mathbf{r})\simeq e^{ikz}+f(\theta )\frac{e^{ikr}}{r}$$
と書く。散乱振幅 $f(\theta )$ を第 1 ボルン近似で求め、それを用いて全断面積
$$\sigma =\int |f(\theta ){|}^{2}d\Omega$$
を $m,V_0,a,\hslash ,k$ を用いて表せ。ポテンシャルの中心は空間に固定されているものとする（反跳は考えない）。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャルの中にある。粒子の座標を $x_1,x_2$ とし、系のハミルトニアンを
$$H=\sum _{j=1}^2\left(\frac{p_j^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}_j^2\right)+g\delta (x_1-x_2)(g>0)$$
とする。ハミルトニアンはスピンによらない。接触相互作用 $g\delta (x_1-x_2)$ を摂動とみなす。非摂動の 1 粒子の規格化された固有関数のうち、基底状態と第 1 励起状態は、$\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }$ として
$${\phi }_0(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2},{\phi }_1(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}\sqrt{2}\alpha x{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2}$$
である。2 粒子系の非摂動エネルギーが $2\hslash \omega$ の準位（零点エネルギーを含む。1 粒子が ${\phi }_0$、もう 1 粒子が ${\phi }_1$ を占める準位）は、摂動の 1 次で 2 つのエネルギー準位に分かれる。高いほうの準位のエネルギーから低いほうの準位のエネルギーを引いた差を、摂動の 1 次までで $g,m,\omega ,\hslash$ を用いて求めよ。必要なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}(a>0)$ を用いてよい。

鉛直に立てた断面積 $S$、高さ $L$ の円筒容器（底面が $z=0$、上面が $z=L$、$z$ 軸は鉛直上向き）の中に、質量 $m$ の単原子分子 $N$ 個からなる理想気体が閉じ込められ、温度 $T$ の熱浴と接して熱平衡にある。分子は一様な重力（重力加速度の大きさ $g$）を受け、高さ $z$ にある分子の位置エネルギーは $mgz$ である。分子どうしの相互作用はなく、分子の運動は古典統計力学で扱えるとする（分子は区別できない同種粒子として扱う）。容器の体積は一定である。この気体の定積熱容量 $C$ を $N$, $m$, $g$, $L$, $T$, ボルツマン定数 $k_B$ を用いて表せ。