偏微分方程式の問題

手順 1：$x$ についてフーリエ変換する。
$\hat{u}(\xi ,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x,t)e^{-ix\xi }dx$ とおく。微分がかけ算に変わる性質 $\widehat{u_{xx}}=(i\xi {)}^2\hat{u}=-{\xi }^2\hat{u}$ より、方程式は各 $\xi$ ごとの常微分方程式
$$\frac{d\hat{u}}{dt}=-{\xi }^2\hat{u}$$
になる。これは変数分離形で、$\hat{u}(\xi ,t)=\hat{u}(\xi ,0)e^{-{\xi }^{2}t}$。

手順 2：初期値のフーリエ変換を計算する。
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}{e}^{-ix\xi }dx=\sqrt{\pi }{e}^{-{\xi }^2/4}$$
（指数部を $-x^2-ix\xi =-(x+\frac{i\xi }{2}{)}^2-\frac{{\xi }^2}{4}$ と平方完成し、ガウス積分 $\int e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を使う。一般に $a>0$ のとき ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2-ix\xi }dx=\sqrt{\pi /a}{e}^{-{\xi }^2/(4a)}$）。よって
$$\hat{u}(\xi ,t)=\sqrt{\pi }{e}^{-{\xi }^2/4}{e}^{-{\xi }^{2}t}=\sqrt{\pi }{e}^{-a{\xi }^2},a=t+\frac{1}{4}.$$

手順 3：逆変換する。
上の公式で $x$ と $\xi$ の役割を入れ替えると（符号 $+ix\xi$ でも同じ値）、${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{\xi }^2+ix\xi }d\xi =\sqrt{\pi /a}{e}^{-x^2/(4a)}$ なので
$$u(x,t)=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\pi }\sqrt{\frac{\pi }{a}}{e}^{-x^2/(4a)}=\frac{1}{2\sqrt{a}}{e}^{-x^2/(4a)}.$$
$4a=1+4t$, $2\sqrt{a}=\sqrt{1+4t}$ より
$$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t}}\exp \left(-\frac{x^2}{1+4t}\right).$$

熱核との関係： $e^{-{\xi }^{2}t}$ は熱核 $\Phi (x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}{e}^{-x^2/(4t)}$ のフーリエ変換なので、積 $\hat{u}=\hat{u}(\cdot ,0)\hat{\Phi }$ は畳み込み $u(x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }\Phi (x-y,t)e^{-y^2}dy$ に対応する。この積分を $y$ について平方完成して計算しても同じ式が得られる。

確認： $t=0$ で $e^{-x^2}$ に一致し、$u$ は有界。$s=1+4t$ とおくと $u=s^{-1/2}{e}^{-x^2/s}$ で、$u_t=4u\left(-\frac{1}{2s}+\frac{x^2}{s^2}\right)$、$u_{xx}=u\left(\frac{4x^2}{s^2}-\frac{2}{s}\right)$ となり $u_t=u_{xx}$ を満たす。有界な解は一意なので、これが求める解である。

初期値のフーリエ変換は ${\hat{u}}_0(\xi )=\int e^{-x^2}{e}^{-ix\xi }dx=\sqrt{\pi }{e}^{-{\xi }^2/4}$ である。方程式にフーリエ変換を施すと ${\hat{u}}_t=-{\xi }^2\hat{u}$ となるので、$\hat{u}(\xi ,t)={\hat{u}}_0(\xi )e^{-{\xi }^{2}t}=\sqrt{\pi }{e}^{-{\xi }^2(t+1/4)}$ を得る。

逆変換する。$\frac{1}{2\pi }\int \sqrt{\pi }{e}^{-a{\xi }^2}{e}^{ix\xi }d\xi$ において $a=t+\frac{1}{4}=\frac{1+4t}{4}$ とすると、$\int e^{-a{\xi }^2}{e}^{ix\xi }d\xi =\sqrt{\pi /a}{e}^{-x^2/(4a)}$ である。よって
$u=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\pi }\sqrt{\pi /a}{e}^{-x^2/(4a)}=\frac{1}{2\sqrt{a}}{e}^{-x^2/(4a)}$。
$\sqrt{a}=\frac{\sqrt{1+4t}}{2}$ より $\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{1+4t}}$、$4a=1+4t$ より指数部は $-\frac{x^2}{1+4t}$ となる。

$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t}}\exp \left(-\frac{x^2}{1+4t}\right)$。

検算: $t=0$ で $e^{-x^2}$ となる。また $u_t=u_{xx}$ を確かめる。$s=1+4t$ とおくと $u=s^{-1/2}{e}^{-x^2/s}$ であり、$u_{xx}=s^{-1/2}{e}^{-x^2/s}(4x^2/s^2-2/s)$ となる。一方 $u_t=4{\partial }_{s}u=4s^{-1/2}{e}^{-x^2/s}(-\frac{1}{2s}+\frac{x^2}{s^2})=s^{-1/2}{e}^{-x^2/s}(-2/s+4x^2/s^2)$ で一致する。有界かつ連続である。有界解の一意性により、これが求める解である。