変数分離法

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=9u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),u(x,0)=\sin 2x,u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u=X(x)T(t)$ とおく変数分離法によってこの問題の解を求め、$u\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{18}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=\sin 3x,u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の滑らかな解はただ一つであることが知られている。$u=X(x)T(t)$ とおく変数分離法によって解 $u(x,t)$ を求め、$u\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{18}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=2\sin x,u_t(x,0)=6\sin 3x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u(x,t)=X(x)T(t)$ とおく変数分離法で得られる解 $u$ について、$u\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{8}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=x(1-x)(0\le x\le 1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によってこの問題の解 $u$ を求め、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<2,t>0),$$
$$u(0,t)=u(2,t)=0(t>0),u(x,0)=4{\sin }^3\frac{\pi x}{2}(0\le x\le 2)$$
を考える。この問題の解 $u$ を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて求め、$t>0$ における中点での値 $u(1,t)$ を $t$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=1(0<x<1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によって得られる解 $u$ について、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、$u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ がディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )=8{\sin }^2\theta (0\le \theta <2\pi )$$
を満たすとする。極座標による変数分離を用いて $u$ を求め、点 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ における値 $u\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ を求めよ。

平面の円板 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2<4\}$ において、ラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(2\cos \theta ,2\sin \theta )=8{\sin }^2\theta +4\cos \theta (0\le \theta <2\pi )$$
を考える。ここで $u$ は直交座標 $(x,y)$ の関数 $u(x,y)$ であり、$u\in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ とする（この条件のもとで解はただ 1 つに定まる）。極座標を用いた変数分離によってこの解 $u$ を求め、直交座標で $(x,y)=\left(1,\frac{1}{2}\right)$ と表される点における値 $u\left(1,\frac{1}{2}\right)$ を求めよ。

平面の円環領域 $\Omega =\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 1<x^2+y^2<4\}$ において、$u\in C^2(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$ がディリクレ問題
$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0(\text{in }\Omega ),$$
$$u(x,y)=1(x^2+y^2=1),u(x,y)=1+\frac{3}{2}x(x^2+y^2=4)$$
を満たすとする。このとき $u\left(\frac{3}{4},1\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対するノイマン境界条件付きの熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
の解を、変数分離法により余弦フーリエ級数で表されるものとする。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }\left(u(0,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

$u=u(x,t)$ に対する両端固定の弦の波動方程式の初期値・境界値問題
$$u_{tt}=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)={\sin }^{3}x,u_t(x,0)=\sin 2x(0\le x\le \pi )$$
の解 $u\in C^2([0,\pi ]\times [0,\infty ))$ について、$u\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

長方形領域 $R=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 0<x<\pi ,0<y<1\}$ におけるラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in R),$$
$$u(0,y)=u(\pi ,y)=0(0\le y\le 1),u(x,0)=0,u(x,1)=\sin x+\sin 3x(0\le x\le \pi )$$
の解 $u\in C^2(R)\cap C(\overline{R})$ はただ 1 つ存在する。変数分離法によりこの解を求め、$u\left(\frac{\pi }{2},\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式のノイマン境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は、変数分離とフーリエ余弦級数によって得られる解とする。このとき
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }{\left(u(x,t)-\frac{\pi }{2}\right)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=2u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(\pi -x)(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の解を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて $u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{e}^{-2n^{2}t}\sin nx$ の形で求めたうえで、
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t)dxdt$$
の値を求めよ。ただし、必要なら $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}=\frac{{\pi }^6}{945}$ を用いてよい。

平面の円環領域 $D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:1<x^2+y^2<4\}$ において、ディリクレ問題
$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in D),$$
$$u(x,y)=x^2(x^2+y^2=1),u(x,y)=0(x^2+y^2=4)$$
を考える。$u$ は $D$ で $C^2$ 級、$\overline{D}$ で連続な解とする（このような解はただ 1 つである）。このとき $u(\sqrt{2},0)$ の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=0,u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は変数分離とフーリエ級数で得られる解
$$u(x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }{b}_k{e}^{-{\mu }_k^{2}t}\sin ({\mu }_{k}x),{\mu }_k=k+\frac{1}{2}$$
の形で表される（係数 $b_k$ は初期条件から定まる）。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }u(\pi ,t)dt$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付き波動方程式（電信方程式）の初期値・境界値問題
$$u_{tt}+2u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=x(\pi -x),u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。変数分離法により $u$ を $\sin nx$（$n$ は正の整数）のフーリエ正弦級数
$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{T}_n(t)\sin nx$$
の形で求めたとき、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }u\left(\frac{\pi }{2},t\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^5}=\frac{5{\pi }^5}{1536}$ を用いてよい。

平面の円環領域 $A=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 1<x^2+y^2<4\}$ において、ラプラス方程式のディリクレ問題
$$u_{xx}+u_{yy}=0((x,y)\in A),$$
$$u(x,y)=2x^2(x^2+y^2=1),u(x,y)=\frac{3}{2}y(x^2+y^2=4)$$
を考える。ここで $u$ は $A$ で $C^2$ 級、閉包 $\overline{A}$ で連続な関数とする。このとき
$$u\left(\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する、左端が固定（ディリクレ条件）・右端が断熱（ノイマン条件）の熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=0,u_x(\pi ,t)=0(t>0),$$
$$u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。ここで $u$ は、境界条件をみたす固有関数による変数分離とフーリエ級数展開で得られる解とする（$t>0$ では級数は項別微分可能で滑らかな関数を定め、$t\to +0$ のとき $u(\cdot ,t)$ は $L^2(0,\pi )$ で初期値 $x$ に収束する）。このとき
$$J={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t{)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。