偏微分方程式の問題

手順1：変数分離。 $u=X(x)T(t)$ とおくと $X{T}^{\prime }=X^{\prime \prime }T$ より
$$\frac{T^{\prime }}{T}=\frac{X^{\prime \prime }}{X}=-\lambda (\lambda \text{ は定数}).$$
境界条件から $X(0)=X(1)=0$ である。

手順2：固有値問題。 $X^{\prime \prime }+\lambda X=0,X(0)=X(1)=0$ が $0$ でない解をもつのは
$${\lambda }_n=(n\pi {)}^2,X_n(x)=\sin (n\pi x)(n=1,2,3,\dots )$$
のときである。このとき $T^{\prime }=-(n\pi {)}^{2}T$ を解いて $T_n(t)=e^{-n^2{\pi }^{2}t}$。

手順3：重ね合わせ。 解を
$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{e}^{-n^2{\pi }^{2}t}\sin (n\pi x)$$
とおく。$t=0$ で $x(1-x)=\sum b_n\sin (n\pi x)$ となるように、$b_n$ を $[0,1]$ 上の正弦級数の係数
$$b_n=2{\int }_0^{1}x(1-x)\sin (n\pi x)dx$$
に選ぶ。

手順4：係数の計算。 $f(x)=x-x^2$ とおくと $f(0)=f(1)=0$, $f^{\prime }(x)=1-2x$, $f^{\prime \prime }(x)=-2$。部分積分を2回行うと
$${\int }_0^{1}f(x)\sin (n\pi x)dx=[-\frac{f(x)\cos (n\pi x)}{n\pi }{]}_0^1+\frac{1}{n\pi }{\int }_0^1(1-2x)\cos (n\pi x)dx$$
$$=\frac{1}{n\pi }\left([\frac{(1-2x)\sin (n\pi x)}{n\pi }{]}_0^1+\frac{2}{n\pi }{\int }_0^1\sin (n\pi x)dx\right)=\frac{2}{(n\pi {)}^2}\cdot \frac{1-(-1{)}^n}{n\pi }.$$
よって
$$b_n=\frac{4\{1-(-1{)}^n\}}{n^3{\pi }^3}=\{\begin{array}{ll}\frac{8}{n^3{\pi }^3}& (n\text{ が奇数})\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$
特に $b_1=\frac{8}{{\pi }^3}$。したがって
$$u(x,t)=\frac{8}{{\pi }^3}\sum _{k=0}^{\infty }\frac{e^{-(2k+1{)}^2{\pi }^{2}t}\sin ((2k+1)\pi x)}{(2k+1{)}^3}.$$

手順5：極限。
$$e^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)=b_1\sin \frac{\pi }{2}+\sum _{n\ge 2}{b}_n{e}^{-(n^2-1){\pi }^{2}t}\sin \frac{n\pi }{2}.$$
$n\ge 2$ では $n^2-1\ge 3$ なので、第2項の絶対値は
$$e^{-3{\pi }^{2}t}\sum _{n\ge 2}\frac{8}{n^3{\pi }^3}$$
以下であり、$t\to \infty$ で $0$ に収束する（$\sum 1/n^3$ は収束する）。よって
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)=b_1\cdot 1=\frac{8}{{\pi }^3}.$$

変数分離により $u(x,t)={\sum }_{n\ge 1}{b}_n{e}^{-n^2{\pi }^{2}t}\sin (n\pi x)$、ここで $b_n=2{\int }_0^{1}x(1-x)\sin (n\pi x)dx$。

部分積分で計算する。${\int }_0^{1}x\sin (n\pi x)dx=-\frac{\cos n\pi }{n\pi }=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n\pi }$。
${\int }_0^1{x}^2\sin (n\pi x)dx={\left[-\frac{x^2\cos n\pi x}{n\pi }\right]}_0^1+\frac{2}{n\pi }{\int }_0^{1}x\cos (n\pi x)dx$。
${\int }_0^{1}x\cos (n\pi x)dx={\left[\frac{x\sin n\pi x}{n\pi }\right]}_0^1-\frac{1}{n\pi }{\int }_0^1\sin n\pi xdx=-\frac{1}{n\pi }\cdot \frac{1-(-1{)}^n}{n\pi }=-\frac{1-(-1{)}^n}{n^2{\pi }^2}$。
よって ${\int }_0^1{x}^2\sin (n\pi x)dx=-\frac{(-1{)}^n}{n\pi }-\frac{2(1-(-1{)}^n)}{n^3{\pi }^3}$。

差をとると
${\int }_0^{1}x(1-x)\sin (n\pi x)dx=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n\pi }+\frac{(-1{)}^n}{n\pi }+\frac{2(1-(-1{)}^n)}{n^3{\pi }^3}=\frac{2(1-(-1{)}^n)}{n^3{\pi }^3}$。
ゆえに $b_n=\frac{4(1-(-1{)}^n)}{n^3{\pi }^3}$ で、$n$ が偶数なら 0、奇数なら $\frac{8}{n^3{\pi }^3}$。

解は $u(x,t)=\frac{8}{{\pi }^3}{\sum }_{k\ge 0}\frac{1}{(2k+1{)}^3}{e}^{-(2k+1{)}^2{\pi }^{2}t}\sin ((2k+1)\pi x)$。

$x=1/2$ では $\sin (n\pi /2)=\pm 1$（$n$ 奇数）。$e^{{\pi }^{2}t}u(1/2,t)=\frac{8}{{\pi }^3}\left[1+{\sum }_{k\ge 1}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^3}{e}^{-((2k+1{)}^2-1){\pi }^{2}t}\right]$。$t\to \infty$ で $k\ge 1$ の項は 0 に収束する（各項は絶対値が $1/(2k+1{)}^3$ 以下で、和は一様に収束するため）。

極限は $\frac{8}{{\pi }^3}$。

検算：$t=0$ で $u(1/2,0)=\frac{1}{4}=\frac{8}{{\pi }^3}\sum (-1{)}^k/(2k+1{)}^3=\frac{8}{{\pi }^3}\cdot \frac{{\pi }^3}{32}=\frac{1}{4}$ となり一致。