正弦級数・余弦級数

関数 $f(x)=x(0\le x\le \pi )$ を奇関数として区間 $-\pi \le x\le \pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の関数に拡張して、正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。

区間 $0\le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ を奇関数として区間 $-\pi <x<\pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の周期関数に拡張する。こうして得られる関数の正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
の係数 $b_n$ を、正の整数 $n$ の式で求めよ。

区間 $0\le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ を奇関数として区間 $-\pi <x<\pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の周期関数に拡張して、正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=x(1-x)(0\le x\le 1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によってこの問題の解 $u$ を求め、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<1,t>0),$$
$$u(0,t)=u(1,t)=0(t>0),u(x,0)=1(0<x<1)$$
を考える。変数分離とフーリエ正弦級数によって得られる解 $u$ について、極限
$$\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{{\pi }^{2}t}u\left(\frac{1}{2},t\right)$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対するノイマン境界条件付きの熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
の解を、変数分離法により余弦フーリエ級数で表されるものとする。このとき広義積分
$${\int }_0^{\infty }\left(u(0,t)-\frac{\pi }{2}\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式のノイマン境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u_x(0,t)=u_x(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。$u$ は、変数分離とフーリエ余弦級数によって得られる解とする。このとき
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }{\left(u(x,t)-\frac{\pi }{2}\right)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=2u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=x(\pi -x)(0\le x\le \pi )$$
を考える。この問題の解を変数分離とフーリエ正弦級数を用いて $u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{e}^{-2n^{2}t}\sin nx$ の形で求めたうえで、
$$I={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t)dxdt$$
の値を求めよ。ただし、必要なら $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}=\frac{{\pi }^6}{945}$ を用いてよい。

$f$ を $[0,\pi ]$ 上の実数値連続関数とする。実数値関数 $u(x,t)$ は $[0,\pi ]\times [0,\infty )$ で連続であり、$[0,\pi ]\times (0,\infty )$ で $u_t,u_x,u_{xx}$ が存在して連続（$x=0,\pi$ では片側微分とする）で、
$$u_t=u_{xx}(0\le x\le \pi ,t>0),u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t>0),u(x,0)=f(x)(0\le x\le \pi )$$
をみたすとする。$\beta =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(y)\sin ydy$ とおくとき、
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\underset{0\le x\le \pi }{\sup }|e^{t}u(x,t)-\beta \sin x|=0$$
が成り立つことを示せ。

ただし、次の事実は用いてよい：$[0,\pi ]$ 上の連続関数 $g$ が、すべての正の整数 $n$ について ${\int }_0^{\pi }g(x)\sin nxdx=0$ をみたすならば、$g$ は $[0,\pi ]$ 上で恒等的に $0$ である。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$ と $x=L$ で固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従い、変位は十分小さく、重力・空気抵抗・減衰は無視できるものとする。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=L/3$ をつまんで高さ $h$ まで引き上げ、弦が 2 本の線分からなる折れ線
$$y(x,0)=\{\begin{array}{ll}\frac{3h}{L}x& (0\le x\le L/3)\\ \frac{3h}{2L}(L-x)& (L/3\le x\le L)\end{array}$$
の形で静止した状態から静かに放した。

その後の運動で、弦の全力学的エネルギーのうち基本振動（最も振動数の低い基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な値で表せ。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$, $x=L$ で固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従い、境界条件は $y(0,t)=y(L,t)=0$ である。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=L/4$ をつまんで高さ $h$ まで引き上げ、弦が 2 本の線分からなる折れ線
$$y(x,0)=\{\begin{array}{ll}\frac{4h}{L}x& \left(0\le x\le \frac{L}{4}\right)\\ \frac{4h}{3L}(L-x)& \left(\frac{L}{4}\le x\le L\right)\end{array}$$
の形で静止している状態から、静かにはなした（$\partial y/\partial t(x,0)=0$）。$h$ は $L$ に比べて十分小さい。

その後の弦の振動を基準振動の重ね合わせで表すとき、弦の全力学的エネルギーのうち、基本振動（最も振動数の低い基準振動）が担うエネルギーの割合を求めよ。ただし、弦の運動エネルギーは ${\int }_0^L\frac{1}{2}\mu {\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^{2}dx$、位置エネルギーは ${\int }_0^L\frac{1}{2}T{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^{2}dx$ とする。

長さ $L$、線密度 $\mu$ の一様な弦が張力 $T$ で張られ、両端 $x=0$, $x=L$ が固定されている。弦の横変位 $y(x,t)$ は微小で、波動方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}y}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}$$
に従うものとする。弦の力学的エネルギーは
$$E={\int }_0^L\left\{\frac{\mu }{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^2+\frac{T}{2}{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2\right\}dx$$
で与えられ、減衰はないものとする。

時刻 $t=0$ に、弦の点 $x=\frac{L}{4}$ をつまんで横に $h$（$0<h\ll L$）だけ引き、弦が 2 本の線分からなる形になった状態から静かに（各点の速度 $0$ で）はなした。その後の運動を基準振動 $\sin \frac{n\pi x}{L}$（$n=1,2,3,\dots$）の重ね合わせで表すとき、弦の力学的エネルギー $E$ のうち、基本振動（$n=1$）がもつエネルギーの割合を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付き波動方程式（電信方程式）の初期値・境界値問題
$$u_{tt}+2u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=u(\pi ,t)=0(t\ge 0),$$
$$u(x,0)=x(\pi -x),u_t(x,0)=0(0\le x\le \pi )$$
を考える。変数分離法により $u$ を $\sin nx$（$n$ は正の整数）のフーリエ正弦級数
$$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{T}_n(t)\sin nx$$
の形で求めたとき、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }u\left(\frac{\pi }{2},t\right)dt$$
の値を求めよ。必要ならば $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^5}=\frac{5{\pi }^5}{1536}$ を用いてよい。

$u=u(x,t)$ に対する、左端が固定（ディリクレ条件）・右端が断熱（ノイマン条件）の熱方程式の初期値・境界値問題
$$u_t=u_{xx}(0<x<\pi ,t>0),$$
$$u(0,t)=0,u_x(\pi ,t)=0(t>0),$$
$$u(x,0)=x(0\le x\le \pi )$$
を考える。ここで $u$ は、境界条件をみたす固有関数による変数分離とフーリエ級数展開で得られる解とする（$t>0$ では級数は項別微分可能で滑らかな関数を定め、$t\to +0$ のとき $u(\cdot ,t)$ は $L^2(0,\pi )$ で初期値 $x$ に収束する）。このとき
$$J={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{\pi }u(x,t{)}^{2}dxdt$$
の値を求めよ。