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フーリエ解析・ラプラス変換の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学フーリエ解析・ラプラス変換

区間 $0 \leq x \leq π$ で定義された関数 $f (x) = x$ を奇関数として区間 $- π < x < π$ に拡張し、さらに周期 $2 π$ の周期関数に拡張して、正弦級数
$f (x) \sim n = 1 \sum \infty b_{n} sin n x$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_{n}$ を $n$ の式で求めよ。

この問題で使うもの

正弦級数・余弦級数（説明と入口の問題）
フーリエ級数（説明と入口の問題）
部分積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

正弦級数・余弦級数の技能を使います。 $f (x)$ を奇関数に拡張すると、フーリエ級数の余弦の項が消えて正弦の項だけが残ります。

ヒント 2

奇関数への拡張では、 $b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) sin n x d x$ が成り立ちます。 $x sin n x$ の積分には部分積分を使いましょう。

ヒント 3

$\int_{0}^{π} x sin n x d x = [- \frac{x cos n x}{n}]_{0}^{π} + \frac{1}{n} \int_{0}^{π} cos n x d x$ と変形できます。 $cos nπ = (- 1)^{n}$ を使って計算を続けましょう。

答えと解説

答えを見る

\frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}

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解説を読む

方針区間 $[0, π]$ の関数を奇関数に拡張すると、拡張した関数 $f ~ (x)$ は $- π < x < π$ で奇関数になります。

ステップ 1：係数の公式を決める 周期 $2 π$ のフーリエ級数の係数は
$a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f ~ (x) cos n x d x, b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f ~ (x) sin n x d x$
です。 $f ~ (x)$ は奇関数で $cos n x$ は偶関数なので、 $f ~ (x) cos n x$ は奇関数となり、 $a_{0} = 0$ 、 $a_{n} = 0$ です。一方、 $f ~ (x) sin n x$ は偶関数なので
$b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} f (x) sin n x d x = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x sin n x d x$
となります。これが正弦級数の係数の公式です（区間 $[0, π]$ の値だけで計算できます）。

ステップ 2：部分積分で計算する
$\int_{0}^{π} x sin n x d x = [- \frac{x cos n x}{n}]_{0}^{π} + \frac{1}{n} \int_{0}^{π} cos n x d x$
$= - \frac{π cos nπ}{n} + \frac{1}{n} [\frac{sin n x}{n}]_{0}^{π} = - \frac{π ( - 1 ) ^{n}}{n} + 0.$
ここで $cos nπ = (- 1)^{n}$ 、 $sin nπ = 0$ を使いました。

ステップ 3：係数を求める
$b_{n} = \frac{2}{π} \cdot (- \frac{π ( - 1 ) ^{n}}{n}) = - \frac{2 ( - 1 ) ^{n}}{n} = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} .$

よって
$f (x) \sim n = 1 \sum \infty \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin n x = 2 (sin x - \frac{sin 2 x}{2} + \frac{sin 3 x}{3} - \dots)$
であり、答えは $b_{n} = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ です。

別解

奇関数拡張なので $b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x sin n x d x$ 。部分積分により $\int_{0}^{π} x sin n x d x = [- \frac{x c o s n x}{n}]_{0}^{π} + \frac{1}{n} \int_{0}^{π} cos n x d x = - \frac{π c o s nπ}{n} + \frac{1}{n ^{2}} [sin n x]_{0}^{π} = - \frac{π ( - 1 ) ^{n}}{n}$ 。よって $b_{n} = \frac{2}{π} \cdot (- \frac{π ( - 1 ) ^{n}}{n}) = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ 。検算： $n = 1$ で $b_{1} = 2$ 。 $\frac{2}{π} \int_{0}^{π} x sin x d x = \frac{2}{π} \cdot π = 2$ で一致。 $n = 2$ では $b_{2} = - 1$ で、 $\int_{0}^{π} x sin 2 x d x = - π /2$ より $\frac{2}{π} \cdot (- π /2) = - 1$ で一致。

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