フーリエ解析・ラプラス変換

関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x\leqq \pi$ で $f(x)=x$ とし、周期 $2\pi$ で実数全体に拡張した周期関数とする。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
とし、係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
で定める。正の整数 $n$ に対して、$b_n$ を $n$ の式で求めよ。

関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x\leqq \pi$ において $f(x)=x$ とし、周期 $2\pi$ で実数全体に拡張した関数とする。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
と表す。ここで、フーリエ係数は
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。正の整数 $n$ に対して、$b_n$ を $n$ の式で求めよ。

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ を、区間 $-\pi <x<\pi$ で $f(x)=x$ となるように定める。$f(x)$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
と表すとき、フーリエ係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。ただし、$n$ は正の整数とする。

関数 $f(x)=x(0\le x\le \pi )$ を奇関数として区間 $-\pi \le x\le \pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の関数に拡張して、正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。

区間 $0\le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ を奇関数として区間 $-\pi <x<\pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の周期関数に拡張する。こうして得られる関数の正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
の係数 $b_n$ を、正の整数 $n$ の式で求めよ。

区間 $0\le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ を奇関数として区間 $-\pi <x<\pi$ に拡張し、さらに周期 $2\pi$ の周期関数に拡張して、正弦級数
$$f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$$
に展開する。正の整数 $n$ に対して、係数 $b_n$ を $n$ の式で求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (-\pi \le x<0)\\ 1& (0\le x\le \pi )\end{array}$$
のフーリエ級数は
$$\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (2k-1)x}{2k-1}=\frac{4}{\pi }\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right)$$
である。すなわち、フーリエ係数 $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$, $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$ は、$a_n=0(n\ge 0)$ であり、$n$ が奇数のとき $b_n=\frac{4}{n\pi }$、$n$ が正の偶数のとき $b_n=0$ である。

パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^2}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$$
の和を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=x$ のフーリエ級数は
$$x\sim \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }x\sin nxdx=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}(n=1,2,3,\dots )$$
であり、余弦の係数はすべて $a_n=0(n=0,1,2,\dots )$ である。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$$
の和を求めよ。

区間 $-\pi <x<\pi$ で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-1& (-\pi <x<0)\\ 0& (x=0)\\ 1& (0<x<\pi )\end{array}$$
のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。計算すると、すべての $n$ で $a_n=0$ であり、$f(x)$ のフーリエ級数は
$$\frac{4}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (2k-1)x}{2k-1}$$
となる。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^2}=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots$$
の和を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-3x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{f}(\omega )$ を $\omega$ の式で求めよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\leqq x\leqq 2)\\ 0& (x<0\text{ または }x>2)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。$\hat{f}\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\leqq x\leqq 2)\\ 0& (x<0\text{ または }x>2)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。$\hat{f}\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形が分かるように整理して答えよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{h}(1)$ の値を求めよ。ただし $i$ は虚数単位とする。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$h(x)$ のフーリエ変換の $\omega =1$ における値 $\hat{h}(1)$ を求めよ。ただし $i$ は虚数単位とし、答えは $a+bi$（$a,b$ は実数）の形で表せ。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array},g(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$h(x)$ のフーリエ変換 $\hat{h}(\omega )$ の $\omega =1$ における値 $\hat{h}(1)$ を求めよ。ただし、$i$ は虚数単位とする。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>1$ において
$$F(s)=\frac{5s+1}{(s-1)(s+2)}$$
であるとき、$f(t)$ を求めよ。ただし、実数 $a$ に対して $s>a$ のとき $\mathcal{L}[e^{at}](s)=\frac{1}{s-a}$ が成り立つこと、ラプラス変換が線形であること、および $t\geqq 0$ で連続な関数はそのラプラス変換によってただ一つに定まることを用いてよい。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>-2$ を満たす実数 $s$ に対して
$$F(s)=\frac{2s+7}{(s+2)(s+3)}$$
であるとき、$f(t)$ を求めよ。ただし、$t\geqq 0$ で連続な関数はそのラプラス変換によってただ 1 つに定まることを用いてよい。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>1$ で
$$F(s)=\frac{5s+1}{s^2+s-2}$$
となるような連続関数 $f(t)$ を求めよ。ただし、ラプラス変換が一致する $t\geqq 0$ 上の連続関数はただ 1 つであることを用いてよい。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)=e^{-t}(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=2$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=0(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(t)$ のラプラス変換を $Y(s)=\mathcal{L}[y(t)](s)$ とおき、ラプラス変換を用いてこの初期値問題を解け。$t\geqq 0$ における $y(t)$ を $t$ の式で答えよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+4y(t)=4(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=2$ を満たすとする。$y(t)$ のラプラス変換を $Y(s)=\mathcal{L}[y(t)]$ として、ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+4y(t)=8(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime }(t)-2y(t)=4(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たすとする。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=e^{-2|x|}$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$\hat{f}(\omega )$ を計算し、フーリエの反転公式
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
を用いて、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\cos 3\omega }{{\omega }^2+4}d\omega$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。ラプラス変換の性質 $\mathcal{L}[t^{n}f(t)](s)=(-1{)}^n{F}^{(n)}(s)$（$n$ は正の整数）などを用いて、定積分
$$I={\int }_0^{\infty }{t}^3{e}^{-2t}\cos tdt$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$\hat{f}(\pi )$ の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)=\sin t$, $g(t)=\cos t$ の畳み込みを
$$h(t)=(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-u)g(u)du={\int }_0^t\sin (t-u)\cos udu$$
で定める。ラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ の畳み込み定理 $\mathcal{L}[f\ast g]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]$ を用いて、$h(t)$ を $t$ の式で表せ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n\ge 0),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n\ge 1)$$
とする。これらの係数を計算し、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n^2+b_n^2)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $\pi$ と $e^{2\pi }$ を用いた式で表せ（双曲線関数は用いないこと）。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& (0\leqq x\leqq 1)\\ 0& (x<0\text{ または }x>1)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ここで $i$ は虚数単位である。$\hat{f}(\pi )$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x{e}^{-x}& (x\ge 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。ただし $i$ は虚数単位である。このとき $\hat{f}(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=e^{-|x|},g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定めるとき、$\hat{h}(1)$ の値を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>-2$ を満たす実数 $s$ に対して
$$F(s)=\frac{2s+5}{s^2+4s+13}$$
となる連続関数 $f(t)$（$t\geqq 0$）を求めよ。

区間 $[-\pi ,\pi ]$ 上で区分的に連続な実数値関数 $f$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。このとき成り立つパーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
は用いてよい。

関数 $f(x)=|x|(-\pi \le x\le \pi )$ のフーリエ係数を計算し、パーセバルの等式を用いて
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}=\frac{{\pi }^4}{96}$$
が成り立つことを証明せよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$$
で定める。$\omega$ を正の実数とする。次の事実は用いてよい。

• $s>0$ のとき $\mathcal{L}[\sin \omega t](s)=\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$、$\mathcal{L}[\cos \omega t](s)=\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$
• $f$ が $[0,\infty )$ で連続かつ有界で $F(s)=\mathcal{L}[f](s)(s>0)$ のとき、$s>0$ で $\mathcal{L}[tf(t)](s)=-F^{\prime }(s)$
• （一意性）$[0,\infty )$ で連続な 2 つの関数のラプラス変換が $s>0$ で一致すれば、2 つの関数は $[0,\infty )$ 上で一致する

$[0,\infty )$ で連続な関数 $g(t)$ が、すべての $s>0$ で
$$\mathcal{L}[g](s)=\frac{1}{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$$
を満たすとき、
$$g(t)=\frac{\sin \omega t-\omega t\cos \omega t}{2{\omega }^3}(t\ge 0)$$
であることを証明せよ。

$[0,\infty )$ で連続な関数 $f$ が指数位数であるとは、定数 $M>0$, $c\ge 0$ があって、すべての $t\ge 0$ で $|f(t)|\le M{e}^{ct}$ となることをいう。このとき $s>c$ でラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ が定まる。また $f,g$ の畳み込みを $(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau (t\ge 0)$ で定める。次の事実は用いてよい。

• （畳み込み定理）$f,g$ が $[0,\infty )$ で連続かつ指数位数ならば、$f\ast g$ も連続かつ指数位数であり、十分大きいすべての $s$ で $\mathcal{L}[f\ast g](s)=\mathcal{L}[f](s)\mathcal{L}[g](s)$
• $s>0$ で $\mathcal{L}[t](s)=\frac{1}{s^2}$、$s>1$ で $\mathcal{L}[\sinh t](s)=\frac{1}{s^2-1}$
• （一意性）$[0,\infty )$ で連続かつ指数位数の 2 つの関数のラプラス変換が、十分大きいすべての $s$ で一致すれば、2 つの関数は $[0,\infty )$ 上で一致する

$[0,\infty )$ で連続かつ指数位数の関数 $y$ が、すべての $t\ge 0$ で
$$y(t)=t+{\int }_0^t(t-\tau )y(\tau )d\tau$$
を満たすならば、$y(t)=\sinh t(t\ge 0)$ であることを証明せよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin x& (|x|\leqq \pi )\\ 0& (|x|>\pi )\end{array}$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。$f(x)$ は実数全体で連続かつ区分的に滑らかなので、すべての実数 $x$ で反転公式
$$f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
が成り立つ（右辺の積分は収束する）ことを用いてよい。

まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\sin (\pi \omega )\sin \frac{\pi \omega }{3}}{1-{\omega }^2}d\omega$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $\omega =1$ で連続になるように値を定めるものとする。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数
$$f(x)=x(\pi -|x|)$$
を考える。$f(x)$ のフーリエ級数
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$
の係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^6}$$
の値を求めよ。

$t>0$ で定義された関数 $g(t)=\frac{1-\cos 2t}{t}$ のラプラス変換 $G(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt$（$s>0$）を、公式
$$\mathcal{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right](s)={\int }_s^{\infty }F(u)du(F=\mathcal{L}[f])$$
を用いて求めることにより、定積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{e^{-t}(1-\cos 2t)}{t}dt$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+2y(t)=e^{-t}(t>0)$$
と初期条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。ラプラス変換 $Y(s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}y(t)dt$ を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。関数
$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},h(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|}$$
を考える。$g$, $h$ のフーリエ変換、畳み込みのフーリエ変換の性質、パーセバルの等式などを利用して、定積分
$$J={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数は $\omega =0$ で連続に拡張したもの（値 $1$）とする。

$t\ge 0$ で定義された連続関数 $f(t)$ のラプラス変換を
$$F(s)=\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$$
で定める。$s>0$ で
$$F(s)=\frac{3s^2+8s+13}{(s+1)(s^2+2s+5)}$$
であるとき、$f(t)$ を $t$ の式で求めよ（$t\ge 0$）。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=\cos \frac{x}{2}$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
とする。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{(4n^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x{e}^{-|x|}$ を考える。関数 $u(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx,u(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
で定める（$x$, $\omega$ は実数）。$f(x)$ は連続かつ絶対可積分で、$\hat{f}(\omega )$ も絶対可積分であり、上の反転公式はすべての実数 $x$ で成り立つとしてよい。$\hat{f}(\omega )$ を求め、反転公式を用いて、広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\omega \sin 2\omega }{(1+{\omega }^2{)}^2}d\omega$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $m$ は正の整数を動く。

区間 $-\pi \leqq x\leqq \pi$ で定義された関数 $f(x)=e^x$ のフーリエ係数を
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,3,\dots )$$
で定める。パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x{)}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+1}$$
の値を求めよ。答えは $e$ と $\pi$ を用いて表せ。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx$$
で定める。2 つの関数
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},g(x)=e^{-|x|}$$
を考え、その畳み込みを
$$h(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。畳み込みのフーリエ変換の公式 $\hat{h}(\omega )=\hat{f}(\omega )\hat{g}(\omega )$ と、パーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )\overline{\hat{v}(\omega )}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)\overline{v(x)}dx$$
（$u,v$ は適当な可積分・2 乗可積分関数）を用いて、定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2(1+{\omega }^2)}d\omega$$
の値を求めよ。

$t\geqq 0$ で連続な関数 $y(t)$ が、$y(0)=1$ を満たし、$t=1$ を除く $t>0$ で微分可能であって、積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+3y(t)+2{\int }_0^{t}y(u)du=H(t-1)(t>0,t\ne 1)$$
を満たすとする。ここで $H(t-1)$ は $t<1$ のとき $0$、$t\geqq 1$ のとき $1$ をとる関数である。関数 $f(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ で定める。

このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }ty(t)dt$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega (\omega ,x\text{ は実数})$$
で定める。関数
$$f(x)=\frac{1}{x^2+2x+2}+\frac{1}{x^2-2x+2}$$
について、まず $\hat{f}(\omega )$ を求め、それを用いて定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x{)}^{2}dx$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $u(x)$ のフーリエ変換を
$$\hat{u}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)e^{-i\omega x}dx(\omega \text{ は実数})$$
で定める。実数全体で定義された関数 $f(x)$, $g(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& (|x|\leqq 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},g(x)=e^{-2|x|}$$
とし、$h(x)=(f\ast f)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)f(y)dy$ とおく。

$h(x)$ を具体的に求め、$\hat{h}$, $\hat{g}$ を計算したうえで、パーセバルの等式（2 つの関数の内積の形）
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{u}(\omega )\overline{\hat{v}(\omega )}d\omega =2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }u(x)\overline{v(x)}dx$$
を用いて、定積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\sin }^2\omega }{{\omega }^2({\omega }^2+4)}d\omega$$
の値を求めよ。

$t\geqq 0$ で定義された関数 $f(t)$ を、$0$ 以上の整数 $m$ を用いて
$$f(t)=\{\begin{array}{ll}1& (2m\leqq t<2m+1)\\ 0& (2m+1\leqq t<2m+2)\end{array}$$
で定める（周期 $2$ の矩形波）。関数 $y(t)$ は $t\geqq 0$ で連続微分可能で、$y^{\prime \prime }(t)$ は区分的に連続であり、$f(t)$ の不連続点を除くすべての $t>0$ で微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)$$
を満たし、初期条件 $y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。関数 $g(t)$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[g](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}g(t)dt$ で定める。ラプラス変換を用いて、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }y(2n)(n\text{ は正の整数})$$
の値を求めよ。

区間 $-\pi \le x\le \pi$ で定義された関数 $f(x)=|\sin x|$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),$$
$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx(n=0,1,2,\dots ),b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx(n=1,2,\dots )$$
で定める。フーリエ係数を求め、パーセバルの等式
$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\{f(x){\}}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$
を用いて、無限級数
$$S=\sum _{m=1}^{\infty }\frac{1}{(4m^2-1{)}^2}$$
の値を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $y(t)$ は、$t\ge 0$ で連続、$t\ne \pi$ で微分可能であり、$y(0)=0$ を満たし、さらに $t>0,t\ne \pi$ において積分微分方程式
$$y^{\prime }(t)+2y(t)+5{\int }_0^{t}y(\tau )d\tau =U(t-\pi )$$
を満たすとする。ここで $U(t)$ は単位階段関数（$t<0$ で $0$、$t\ge 0$ で $1$）である。ラプラス変換を用いて $y(t)$ を求め、$y\left(\frac{5\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された可積分な関数 $f(x)$ のフーリエ変換と逆変換を
$$\hat{f}(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx,f(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\omega )e^{i\omega x}d\omega$$
で定める。