フーリエ解析・ラプラス変換の問題

$Y(s)=\mathcal{L}[y](s)$ とおく。次の公式を使う。
$$\mathcal{L}[y^{\prime }](s)=sY(s)-y(0),\mathcal{L}\left[{\int }_0^{t}y(u)du\right](s)=\frac{Y(s)}{s},\mathcal{L}[H(t-1)](s)=\frac{e^{-s}}{s}.$$
（$y$ は連続なので、$y^{\prime }$ が $t=1$ で跳びをもっても $\mathcal{L}[y^{\prime }]=sY-y(0)$ は成り立つ。）

方程式の両辺をラプラス変換すると
$$sY-1+3Y+\frac{2Y}{s}=\frac{e^{-s}}{s}.$$
両辺に $s$ を掛けて整理すると
$$(s^2+3s+2)Y=s+e^{-s},Y(s)=\frac{s}{(s+1)(s+2)}+\frac{e^{-s}}{(s+1)(s+2)}.$$

部分分数分解すると
$$\frac{s}{(s+1)(s+2)}=-\frac{1}{s+1}+\frac{2}{s+2},\frac{1}{(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}.$$
${\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s+a}\right]=e^{-at}$ と、第2移動定理 ${\mathcal{L}}^{-1}[e^{-s}G(s)]=H(t-1)g(t-1)$ より
$$y(t)=-e^{-t}+2e^{-2t}+H(t-1)\left(e^{-(t-1)}-e^{-2(t-1)}\right).$$
（確認：$t<1$ では $y^{\prime }=e^{-t}-4e^{-2t}$, ${\int }_0^{t}ydu=e^{-t}-e^{-2t}$ で、$y^{\prime }+3y+2{\int }_0^{t}ydu=0$ となり、$y(0)=1$ も満たす。）

求める積分を計算する。${\int }_0^{\infty }t{e}^{-at}dt=\frac{1}{a^2}$, ${\int }_0^{\infty }{e}^{-at}dt=\frac{1}{a}$ $(a>0)$ を用いる。

第1部分：
$${\int }_0^{\infty }t\left(-e^{-t}+2e^{-2t}\right)dt=-1+2\cdot \frac{1}{4}=-\frac{1}{2}.$$
第2部分：$\tau =t-1$ とおくと
$${\int }_1^{\infty }t\left(e^{-(t-1)}-e^{-2(t-1)}\right)dt={\int }_0^{\infty }(\tau +1)\left(e^{-\tau }-e^{-2\tau }\right)d\tau =\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}.$$
よって
$${\int }_0^{\infty }ty(t)dt=-\frac{1}{2}+\frac{5}{4}=\frac{3}{4}.$$

（別解：$y$ は指数的に減衰するので ${\int }_0^{\infty }ty(t)e^{-st}dt=-Y^{\prime }(s)$ は $s=0$ でも成り立つ。$Y=\frac{N}{D}$, $N=s+e^{-s}$, $D=s^2+3s+2$ とすると $N(0)=1$, $N^{\prime }(0)=0$, $D(0)=2$, $D^{\prime }(0)=3$ より $Y^{\prime }(0)=\frac{N^{\prime }(0)D(0)-N(0)D^{\prime }(0)}{D(0{)}^2}=-\frac{3}{4}$。したがって答えは $\frac{3}{4}$ で一致する。）

$t\ge 0$ で $y$ は連続で、ラプラス変換は存在するとする。両辺をラプラス変換する。$\mathcal{L}[y^{\prime }]=sY-y(0)=sY-1$、$\mathcal{L}[{\int }_0^{t}y]=Y/s$、$\mathcal{L}[H(t-1)]=e^{-s}/s$ であるから
$$sY-1+3Y+\frac{2Y}{s}=\frac{e^{-s}}{s}.$$
これを $Y$ について解くと
$$Y(s)=\frac{s+e^{-s}}{s^2+3s+2}=\frac{s+e^{-s}}{(s+1)(s+2)}.$$

求める積分は ${\int }_0^{\infty }ty(t)dt=-Y^{\prime }(0)$ である。$y$ は指数減衰するので $s=0$ の近傍で収束する。

$N=s+e^{-s}$、$D=s^2+3s+2$ とおく。$N(0)=1$、$N^{\prime }(0)=1-1=0$、$D(0)=2$、$D^{\prime }(0)=3$ であるから
$$Y^{\prime }(0)=\frac{N^{\prime }D-N{D}^{\prime }}{D^2}{|}_{s=0}=\frac{0-3}{4}=-\frac{3}{4}.$$
よって積分は $3/4$ である。

検算として $y$ を直接求める。
$$y(t)=(-e^{-t}+2e^{-2t})+H(t-1)(e^{-(t-1)}-e^{-2(t-1)}).$$
第1項の積分は $-1+2\cdot \frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$ である。
第2項は $\tau =t-1$ とおくと ${\int }_0^{\infty }(\tau +1)(e^{-\tau }-e^{-2\tau })d\tau =\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{4}$ である。
合計は $-\frac{1}{2}+\frac{5}{4}=\frac{3}{4}$ となり、一致する。