定数係数 2 階線形（非斉次）

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=2e^x$$
と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=12e^x$$
と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=2e^{3x}$$ と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=18x{e}^{-x}$$
と条件 $y(0)=1$ を満たし、さらに区間 $x\ge 0$ で有界であるとする。このとき、広義積分
$${\int }_0^{\infty }y(x)dx$$
の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=\frac{e^x}{x^2}$$
と初期条件 $y(1)=0$, $y^{\prime }(1)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+9y=12\sin 3x+9x$$ と初期条件 $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

実数全体で定義された関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=8e^{-x}\cos 2x$$ と初期条件 $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=-1$ を満たすとする。$y\left(\frac{\pi }{4}\right)$ の値を求めよ。

$x\ge 0$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=6e^{-x}-4(x\ge 0)$$
と初期条件 $y(0)=1$ を満たし、さらに $x\ge 0$ で有界であるとする。このとき、$x\ge 0$ における $y(x)$ の最小値を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t),y(t)$ が、連立微分方程式
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+y\\ y^{\prime }=-x+3y+e^{2t}\end{array}$$
と初期条件 $x(0)=1,y(0)=0$ をみたすとする。$x(t)$ を求めよ。

実数 $t$ の関数 $x(t)$, $y(t)$ が、連立微分方程式 $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x-y+e^{2t}\\ y^{\prime }=x+y\end{array}$$ と初期条件 $x(0)=1$, $y(0)=0$ を満たすとする。$x(t)$ を求めよ。

区間 $0\le x\le \frac{\pi }{2}$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+y=4x\cos x$$ と境界条件 $y(0)=0$, $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

$q>0$ の範囲で 1 次元の運動をする質量 $m$ の質点のハミルトニアンが、正準座標 $q$ と共役な正準運動量 $p$ を用いて
$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2+\frac{\alpha }{q^2}$$
で与えられる。ここで $m$, $\omega$, $\alpha$ は正の定数である。ポアソン括弧を $\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}$ と定義する。

時刻 $t=0$ に $q=a(a>0)$, $p=0$ であった。$D=q^2$, $A=qp$ とおき、$D$, $A$, $H$ のあいだのポアソン括弧を用いて $D(t)$ の満たす微分方程式を導くことにより、時刻 $t=\frac{\pi }{6\omega }$ における $q$ の値を、$a$, $m$, $\omega$, $\alpha$ を用いて表せ。