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微分方程式の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学微分方程式

実数全体で定義された 2 回微分可能な関数 $y (x)$ が、微分方程式
$y^{''} - y^{'} - 2 y = 18 x e^{- x}$
と条件 $y (0) = 1$ を満たし、さらに区間 $x \geq 0$ で有界であるとする。このとき、広義積分
$\int_{0}^{\infty} y (x) d x$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

定数係数 2 階線形（斉次）（説明と入口の問題）
定数係数 2 階線形（非斉次）（説明と入口の問題）
広義積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（68 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず特性方程式から斉次解を求め、右辺 $18 x e^{- x}$ が特性根と重なる（共鳴する）ことに注意して特殊解を探しましょう。その後、「 $x \geq 0$ で有界」という条件で定数を決めます。

ヒント 2

$y = u (x) e^{- x}$ と置くと、方程式は $u^{''} - 3 u^{'} = 18 x$ に帰着します。 $u = A x^{2} + B x$ とおいて係数を決めましょう。また、有界性から $e^{2 x}$ の係数は $0$ になります。

ヒント 3

特殊解は $y_{p} = - (3 x^{2} + 2 x) e^{- x}$ です。有界性と $y (0) = 1$ から $y = (1 - 2 x - 3 x^{2}) e^{- x}$ が得られます。あとは $\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- x} d x = n!$ を使って積分しましょう。

答えと解説

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解説を読む

斉次方程式の一般解

特性方程式は $λ^{2} - λ - 2 = 0$ 、すなわち $(λ - 2) (λ + 1) = 0$ なので $λ = 2, - 1$ である。よって斉次方程式の一般解は $C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x}$ （ $C_{1}, C_{2}$ は定数）である。

特殊解

右辺の $e^{- x}$ は特性根 $- 1$ に対応するので共鳴が起こる。そこで $y = u (x) e^{- x}$ とおくと
$y^{'} = (u^{'} - u) e^{- x}, y^{''} = (u^{''} - 2 u^{'} + u) e^{- x}$
であるから
$y^{''} - y^{'} - 2 y = (u^{''} - 2 u^{'} + u - u^{'} + u - 2 u) e^{- x} = (u^{''} - 3 u^{'}) e^{- x} .$
したがって $u^{''} - 3 u^{'} = 18 x$ を満たす $u$ を 1 つ見つければよい。 $u = A x^{2} + B x$ とおくと
$2 A - 3 (2 A x + B) = 18 x$
となる。係数を比較すると $- 6 A = 18$ 、 $2 A - 3 B = 0$ なので $A = - 3$ 、 $B = - 2$ である。よって特殊解は $y_{p} = - (3 x^{2} + 2 x) e^{- x}$ となる。

一般解と条件の適用

一般解は
$y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} - (3 x^{2} + 2 x) e^{- x}$
である。 $x \geq 0$ で $e^{- x}$ と $(3 x^{2} + 2 x) e^{- x}$ は有界であり、 $e^{2 x}$ は $x \to \infty$ で発散する。したがって $y$ が $x \geq 0$ で有界であるためには $C_{1} = 0$ でなければならない。さらに $y (0) = C_{2} = 1$ である。ゆえに
$y (x) = (1 - 2 x - 3 x^{2}) e^{- x} .$

積分の計算

$\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- x} d x = n!$ を用いると
$\int_{0}^{\infty} y d x = 1 \cdot 0! - 2 \cdot 1! - 3 \cdot 2! = 1 - 2 - 6 = - 7.$

検算（方程式を直接積分する方法）

$y^{'} = (3 x^{2} - 4 x - 3) e^{- x}$ より $y^{'} (0) = - 3$ である。また $y (x) \to 0$ 、 $y^{'} (x) \to 0$ $(x \to \infty)$ である。微分方程式の両辺を $0$ から $\infty$ まで積分すると
$[y^{'}]_{0}^{\infty} - [y]_{0}^{\infty} - 2 \int_{0}^{\infty} y d x = 18 \int_{0}^{\infty} x e^{- x} d x = 18.$
左辺は $(0 - (- 3)) - (0 - 1) - 2 I = 4 - 2 I$ なので、 $4 - 2 I = 18$ より $I = - 7$ となり、上の結果と一致する。

よって求める値は $- 7$ である。

別解

$y = u (x) e^{- x}$ とおくと、 $y^{'} = (u^{'} - u) e^{- x}$ 、 $y^{''} = (u^{''} - 2 u^{'} + u) e^{- x}$ である。これを微分方程式に代入すると
$u^{''} - 2 u^{'} + u - u^{'} + u - 2 u = u^{''} - 3 u^{'} = 18 x$
となる。

特殊解を $u = a x^{2} + b x$ とおくと、 $u^{'} = 2 a x + b$ 、 $u^{''} = 2 a$ より
$2 a - 6 a x - 3 b = 18 x$
である。係数を比べると $a = - 3$ 、 $2 a - 3 b = 0$ から $b = - 2$ を得る。

一方、斉次方程式の特性方程式 $r^{2} - r - 2 = (r - 2) (r + 1) = 0$ の解は $r = 2, - 1$ である。よって一般解は
$y = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{- x} - (3 x^{2} + 2 x) e^{- x}$
となる。

$x \geq 0$ で有界であるためには $C_{1} = 0$ が必要である（ $C_{1} \neq = 0$ なら $e^{2 x}$ の項が発散する）。また $y (0) = C_{2} = 1$ である。したがって
$y = (1 - 2 x - 3 x^{2}) e^{- x}$
である。

積分は $\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- x} d x = n!$ を使って計算する。
$\int_{0}^{\infty} y d x = 1 - 2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = - 7$

検算： $u = 1 - 2 x - 3 x^{2}$ とすると、 $u^{'} = - 2 - 6 x$ 、 $u^{''} = - 6$ なので $u^{''} - 3 u^{'} = - 6 + 6 + 18 x = 18 x$ となり、方程式を満たす。また $u (0) = 1$ で初期条件も満たす。

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