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微分方程式の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学数学微分方程式

実数全体で定義された微分可能な関数 $y (x)$ が、微分方程式 $(1 + x^{2}) y^{'} + 2 x y = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ と初期条件 $y (0) = 1$ を満たすとする。 $y (1)$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

1 階線形微分方程式（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（45 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

1 階線形微分方程式なので、積分因子を求める方針で解く。左辺の形をよく見る。

ヒント 2

$y^{'}$ の係数で割った標準形 $y^{'} + \frac{2 x}{1 + x ^{2}} y = \dots$ の積分因子は $1 + x^{2}$ である。 $(1 + x^{2}) y^{'} + 2 x y = ((1 + x^{2}) y)^{'}$ に注目する。

ヒント 3

$((1 + x^{2}) y)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ を積分すると $(1 + x^{2}) y = arctan x + C$ になる。初期条件から $C$ を決める。

答えと解説

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\frac{π + 4}{8}

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解説を読む

$1 + x^{2} > 0$ なので、両辺を $1 + x^{2}$ で割ると標準形の 1 階線形微分方程式 $y^{'} + \frac{2 x}{1 + x ^{2}} y = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}$ になる。

積分因子は $exp (\int \frac{2 x}{1 + x ^{2}} d x) = exp (lo g (1 + x^{2})) = 1 + x^{2}$ である。標準形の両辺に $1 + x^{2}$ を掛けると元の式に戻る。その左辺は積の微分法により $(1 + x^{2}) y^{'} + 2 x y = ((1 + x^{2}) y)^{'}$ と書ける。したがって $((1 + x^{2}) y)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ となる。

両辺を $x$ で積分すると、 $C$ を定数として $(1 + x^{2}) y = arctan x + C$ を得る。

初期条件 $y (0) = 1$ を代入すると $1 \cdot 1 = arctan 0 + C = C$ より $C = 1$ である。よって $y (x) = \frac{arctan x + 1}{1 + x ^{2}}$ となる。

$x = 1$ を代入すると $y (1) = \frac{\frac{π}{4} + 1}{2} = \frac{π + 4}{8}$ である。

別解

左辺は $((1 + x^{2}) y)^{'}$ に等しい。実際 $((1 + x^{2}) y)^{'} = 2 x y + (1 + x^{2}) y^{'}$ となり一致する。したがって $((1 + x^{2}) y)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ 。両辺を積分すると $(1 + x^{2}) y = arctan x + C$ 。初期条件 $y (0) = 1$ より $1 = 0 + C$ なので $C = 1$ 。よって $y = \frac{a r c t a n x + 1}{1 + x ^{2}}$ 。 $x = 1$ のとき $y (1) = \frac{π /4 + 1}{2} = \frac{π + 4}{8}$ 。検算: $y (0) = 1$ は成り立つ。 $(1 + x^{2}) y = arctan x + 1$ の微分は $1/ (1 + x^{2})$ で、方程式と一致する。

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