置換積分

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{1}x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}x\cos xdx$$

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\sqrt{3}}x\sqrt{x^2+1}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_1^e\frac{(\log x{)}^2}{x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_1^e\frac{(\log x{)}^3}{x}dx$$

累次積分
$$I={\int }_0^1\left({\int }_{\sqrt[3]{y}}^1\sin \left(\pi x^4\right)dx\right)dy$$
の値を、積分の順序を交換して求めよ。

次の累次積分 $I$ の値を求めよ。
$$I={\int }_0^4\left({\int }_{\sqrt{y}}^2{e}^{x^3}dx\right)dy$$
ただし、$e^{x^3}$ の原始関数は初等関数で表せないので、そのままでは内側の積分を計算できない。積分の順序を交換して計算せよ。

次の累次積分の値を求めよ。$$I={\int }_0^{e-1}\left({\int }_{\log (1+x)}^1\frac{e^{y^2}}{1+x}dy\right)dx$$

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 3\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,y\ge 0\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D{e}^{x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$
の値を求めよ。ただし、$I$ が収束することは認めてよい。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2x^2}dx$$
の値を求めよ。ただし、$I^2$ を $xy$ 平面全体での重積分に直し、極座標に変換して計算すること。

広義積分
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{x^2}{4}}dx$$
の値を求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従い、その確率密度関数は
$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよいものとして、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)$ を求めよ。

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。すなわち $Z$ の確率密度関数は
$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよい。このとき、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)$ を求めよ。

確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。つまり、$Z$ の確率密度関数は
$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。このとき、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)={\int }_{-\infty }^{\infty }{z}^{4}f(z)dz$ を求めよ。必要なら、ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ と、任意の 0 以上の整数 $n$ について $\underset{z\to \pm \infty }{\lim }{z}^n{e}^{-\frac{z^2}{2}}=0$ であることを用いてよい。

${\mathbb{R}}^2$ 上のルベーグ測度を ${\lambda }_2$ とし、
$$D=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid 0\le x\le 1,\sqrt{x}\le y\le 1\}$$
とおく。$D$ 上の関数 $f(x,y)=e^{y^3}$ について、
$$I={\int }_D{e}^{y^3}d{\lambda }_2(x,y)={\int }_0^1\left({\int }_{\sqrt{x}}^1{e}^{y^3}dy\right)dx$$
の値を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{e}^{\sin x}\sin 2xdx$$

媒介変数 $t$ を用いて
$$x=3t^2,y=2t^3(0\leqq t\leqq 2\sqrt{2})$$
と表される曲線の長さ $L$ を求めよ。

平面上の領域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2x\}$ に対して、重積分
$$I={\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy$$
の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }{x}^3{e}^{-x^2}dx$$
の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$\gamma (t)=\left(t,t^2,\frac{2}{3}{t}^3\right)(t\in \mathbb{R})$$
のねじれ率を $\tau (t)$ とする。曲線全体にわたる全ねじれ率
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\tau (t)|{\gamma }^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。ただし、ねじれ率は $\tau =\frac{({\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime })\cdot {\gamma }^{\prime \prime \prime }}{|{\gamma }^{\prime }\times {\gamma }^{\prime \prime }{|}^2}$ で定める。

$u=u(x,t)$ に対する 1 次元波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=4u_{xx}(x\in \mathbb{R},t>0),$$
$$u(x,0)=\frac{1}{1+x^2},u_t(x,0)=x{e}^{-x^2}(x\in \mathbb{R})$$
の $C^2$ 級の解 $u$ について、$u\left(1,\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

体積 $V$ の空洞の中の電磁波（光子気体）が、壁と温度 $T$ で熱平衡にある。単位体積あたり、角振動数が $\omega$ と $\omega +d\omega$ の間にある放射のエネルギーはプランクの式
$$u(\omega )d\omega =\frac{\hslash }{{\pi }^2{c}^3}\frac{{\omega }^3}{e^{\hslash \omega /k_{B}T}-1}d\omega$$
で与えられる（$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いよ。体積 $V$ を一定に保ったときの熱容量から、$T\to 0$ でエントロピーが $0$ になること（熱力学第 3 法則）を用いて、この光子気体のエントロピー $S$ を $V$, $T$, $k_B$, $\hslash$, $c$ を用いて表せ。

$U_1,U_2,\dots$ を独立で、それぞれ区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従う確率変数とし、正の整数 $n$ に対して ${\overline{U}}_n=\frac{U_1+\cdots +U_n}{n}$ とおく。極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}E\left[\left|{\overline{U}}_n-\frac{1}{2}\right|\right]$$
を求めよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\arctan (3x)-\arctan x}{x}dx$$
の値を求めよ。ただし $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数とする。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の三角形のポテンシャル障壁
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (x<0)\\ U-Fx& (x\geqq 0)\end{array}(U>0,F>0)$$
に $x<0$ の側から $x$ 軸の正の向きに、エネルギー $E(0<E<U)$ で入射する（金属表面に強い電場をかけたときの電子の電界放出の簡単なモデル）。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。

透過率 $T$ を WKB 近似で
$$T\approx \exp \left(-2{\int }_{x_1}^{x_2}\kappa (x)dx\right),\kappa (x)=\frac{\sqrt{2m(V(x)-E)}}{\hslash }$$
と評価する。ここで $x_1,x_2(x_1<x_2)$ は $V(x)>E$ となる区間（古典的に禁止された領域）の両端である。$T\approx e^{-G}$ と書くときの指数 $G$ を、$m,U,E,F,\hslash$ を用いて表せ。

${\mathbb{R}}^3$ の上半空間を ${\mathbb{R}}_{+}^3=\{y=(y_1,y_2,y_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid y_3>0\}$ とし、$-\Delta$ の基本解を
$$\Phi (z)=\frac{1}{4\pi |z|}(z\in {\mathbb{R}}^3,z\ne 0)$$
とする（$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。$x=(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}_{+}^3$ に対し $x^{\ast }=(x_1,x_2,-x_3)$ とおき、鏡像法による ${\mathbb{R}}_{+}^3$ のディリクレ問題のグリーン関数を
$$G(x,y)=\Phi (y-x)-\Phi (y-x^{\ast })(x,y\in \overline{{\mathbb{R}}_{+}^3},x\ne y)$$
で定める。さらに $y^{\prime }=(y_1,y_2)\in {\mathbb{R}}^2$ に対し
$$K(x,y^{\prime })=\frac{\partial G}{\partial y_3}(x,y){|}_{y=(y_1,y_2,0)}$$
とおく。$x_0=(0,0,1)$ のとき、積分
$${\int }_{\{y^{\prime }\in {\mathbb{R}}^2:|y^{\prime }|<1\}}K(x_0,y^{\prime })d{y}^{\prime }$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{n}tdt$$
とおく。このとき
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{I}_n=\sqrt{2\pi }$$
であることを証明せよ。ただし、ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-s^2/2}ds=\sqrt{2\pi }$ は用いてよい。

空間的に平坦な FLRW 宇宙 $d{s}^2=d{t}^2-a(t{)}^2\left(d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2\right)$（計量の符号は $(+,-,-,-)$、$c=1$）を考える。宇宙を満たす成分は放射（エネルギー密度 ${\rho }_r\propto a^{-4}$）と非相対論的物質（${\rho }_m\propto a^{-3}$）の 2 つだけとする。宇宙項と空間曲率は $0$ とし、$t=0$ で $a=0$ とする。${\rho }_r={\rho }_m$ となるときのスケール因子を $a_{\mathrm{eq}}$ とする。

スケール因子の局所的なべき指数を
$$n(t)\equiv \frac{d\log a}{d\log t}$$
で定義する。放射優勢期では $n\to 1/2$、物質優勢期では $n\to 2/3$ となる。$n(t)=\frac{3}{5}$ となる時刻はただ 1 つである。この時刻における $a/a_{\mathrm{eq}}$ の値を、根号を用いた正確な形で求めよ。

座標空間において、曲面
$$z=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\sqrt{3}y$$
のうち、三角形の領域 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le 5\}$ の上にある部分の曲面積 $S$ を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid (x^2+y^2{)}^2\le 2(x^2-y^2),x\ge 0\}$$ （レムニスケートの右半分で囲まれた部分）に対して、重積分 $$I={\iint }_{D}xdxdy$$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ の領域 $$T=\{(x,y,z)\mid x>0,y>0,z>0,x+y+z<1\}$$ 上の広義積分 $$I={\iiint }_T{x}^{-3/4}{y}^{-1/4}{z}^{-2/3}(1-x-y-z{)}^{-1/3}dxdydz$$ は収束する。$I$ の値を求めよ。ただし答えはガンマ関数やベータ関数を用いずに、根号と $\pi$ を用いて表せ。

${\mathbb{R}}^2$ 上のルベーグ測度を ${\lambda }_2$ とする。実数 $t$ に対し、$t$ 以下の最大の整数を $\lfloor t\rfloor$ で表す。集合
$$E=\left\{(x,y)\in (0,1{)}^2|\lfloor \frac{x}{y}\rfloor +\lfloor \frac{y}{x}\rfloor \text{ は }3\text{ の倍数}\right\}$$
の測度 ${\lambda }_2(E)$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }\frac{n^3}{x^3}\left(\frac{x}{n}-\sin \frac{x}{n}\right)\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$$
とおく（積分は $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ の値を求めよ。

区間 $(0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関する積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{e^{-x}{\sin }^{2}x}{x}dx$$ の値を求めよ。

区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関する積分
$$I={\int }_0^1\frac{\arctan x}{x\sqrt{1-x^2}}dx$$
の値を求めよ。ただし $\arctan$ は値域を $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ とする逆正接関数とし、$\log$ は自然対数とする。

ある作業物質が準静的なサイクルを行う熱機関を考える。横軸にエントロピー $S$、縦軸に絶対温度 $T$ をとった $T$–$S$ 図上で、このサイクルの経路は、軸が座標軸に平行な楕円である。この楕円上の温度の最大値は $T_{\mathrm{H}}$、最小値は $T_{\mathrm{C}}$ である（$T_{\mathrm{H}}>T_{\mathrm{C}}>0$）。また、エントロピーの最小値は $S_1$、最大値は $S_2$ である（$S_2>S_1$）。作業物質は、$T$–$S$ 図上でこの楕円を時計回りに（温度が最大の点からエントロピーが増える向きに）1 周する。

この熱機関の効率 $\eta$ を、1 サイクルで外部にした正味の仕事 $W$ と、1 サイクルで作業物質が吸収した熱の総量 $Q_{\mathrm{in}}$（熱を吸収する部分だけの和）の比 $\eta =W/Q_{\mathrm{in}}$ と定義する。$\eta$ を $T_{\mathrm{H}}$, $T_{\mathrm{C}}$ を用いて表せ。

運動エネルギー $K$ の $\alpha$ 粒子（電荷 $2e$）のビームを、厚さ $t$ の薄い金属箔に垂直に入射させる。箔の中の原子核（原子番号 $Z$、電荷 $Ze$）の数密度を $n$（単位体積あたりの個数）とする。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$ とし、SI 単位系を用いる。

$\alpha$ 粒子と 1 個の原子核の散乱は、原子核を静止したまま動かない点電荷とみなした非相対論的なクーロン散乱として扱い、その微分散乱断面積はラザフォードの式
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }={\left(\frac{k}{4K}\right)}^2\frac{1}{{\sin }^4(\theta /2)},k=\frac{2Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0}$$
で与えられるとする（$\theta$ は散乱角）。箔は十分に薄く、各 $\alpha$ 粒子は高々 1 回しか散乱されず、原子核どうしの「影」の重なりは無視できるとする。また、電子による遮蔽と電子との散乱は無視する。

入射した $\alpha$ 粒子のうち、散乱角 $\theta \ge \frac{\pi }{2}$ の方向に散乱されるものの割合 $f$ を、$n,t,Z,e,{\epsilon }_0,K$ を用いて表せ。

$0\leqq x<\frac{\pi }{2}$ の範囲において、2 曲線 $y=2\sin x$ と $y=\tan x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_0^{\frac{\pi }{3}}\frac{x\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数を表す。$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\tan }^{3}xdx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_0^{\sqrt{3}}{x}^3{e}^{x^2}dx$$

区間 $0\leqq x<\frac{\pi }{2}$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式
$$y^{\prime }-y\tan x=2\sin x$$
と初期条件 $y(0)=1$ をみたすとする。$y\left(\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=(\cosh t,\sinh t,t)(t\in \mathbb{R})$$
を考える。$c$ の各点での曲率を $\kappa$、弧長要素を $ds=|c^{\prime }(t)|dt$ とする。曲線全体にわたる全曲率
$${\int }_c\kappa ds={\int }_{-\infty }^{\infty }\kappa (t)|c^{\prime }(t)|dt$$
の値を求めよ。

上半平面 $\mathbb{H}=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid y>0\}$ に双曲計量
$$d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}$$
を入れる（ガウス曲率は $-1$）。領域
$$D=\{(x,y)\in \mathbb{H}\mid -1\le x\le \sqrt{3},x^2+y^2\ge 4\}$$
の双曲面積（面積要素 $dA=\frac{dxdy}{y^2}$ による面積）を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の円錐面
$$S=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\mid z=2\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2},z>0\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れる。$\gamma :\mathbb{R}\to S$ を弧長でパラメータ付けされた測地線で、
$$\gamma (0)=(1,0,2\sqrt{2}),{\gamma }^{\prime }(0)=(0,1,0)$$
を満たすものとする。$\gamma (t)$ を円柱座標 $(r\cos \theta ,r\sin \theta ,2\sqrt{2}r)$ で表し、$\theta (t)$ は $\theta (0)=0$ を満たす連続関数として選ぶ。このとき
$$\underset{t\to \infty }{\lim }\theta (t)-\underset{t\to -\infty }{\lim }\theta (t)$$
の値を求めよ。

質量 $m$、運動エネルギー $K$ の荷電粒子が、原点に固定された原子核から斥力ポテンシャル $U(r)=\frac{k}{r}$（$k>0$）を受けて散乱される（非相対論的に扱う）。衝突径数 $b$ に対する厳密な散乱角 $\theta$ は
$$b=\frac{k}{2K}\cot \frac{\theta }{2}$$
で与えられる。

一方、散乱角が小さいときによく使われる次の近似（インパルス近似）を考える。粒子は速さ $v=\sqrt{2K/m}$ で衝突径数 $b$ の直線上を等速で通り過ぎるとみなし、その間に受ける力の、入射方向に垂直な成分を時間 $-\infty$ から $+\infty$ まで積分して、垂直方向の運動量変化 $\Delta p_{\perp }$ を求める。そして散乱角を ${\theta }_{\mathrm{imp}}=\frac{\Delta p_{\perp }}{mv}$ とする。

厳密な散乱角がちょうど $\frac{\pi }{2}$ となる衝突径数で入射した場合について、インパルス近似による散乱角と厳密な散乱角の比 $\frac{{\theta }_{\mathrm{imp}}}{\pi /2}$ を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上の写像 $f:[0,1]\to [0,1]$ を
$$f(x)=4x(1-x)$$
で定める。$f$ はルベーグ測度に関して絶対連続な $f$ 不変確率測度 $\mu$ をただ 1 つもち、$\mu$ に関してエルゴード的であり、$\mu$ とルベーグ測度は $[0,1]$ 上で互いに絶対連続であることが知られている。

このとき、ルベーグ測度に関してほとんどすべての $x\in [0,1]$ について存在する極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{\left(f^k(x)\right)}^3$$
の値を求めよ。ただし $f^0$ は恒等写像、$f^k$ は $f$ の $k$ 回合成である。

写像 $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\to \mathbb{R}$ を
$$f(x)=\frac{x^2-1}{2x}$$
で定める。$\mathbb{R}$ 上の確率測度 $\mu$ を
$$\mu (dx)=\frac{dx}{\pi (1+x^2)}$$
で定めると、$\mu$ は $f$ 不変かつエルゴード的であることが知られている（このことは証明なしに用いてよい）。ルベーグ測度に関してほとんどすべての実数 $x$ について、すべての $n\ge 0$ で $f^n(x)\ne 0$ であり、極限
$$\lambda =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\log \left|(f^n{)}^{\prime }(x)\right|$$
が存在して $x$ によらない一定値をとる。この値 $\lambda$ を求めよ。

$2$ 以上の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_{-\infty }^{\infty }{\left(\frac{\log \left(1+n^x\right)}{\log n}\right)}^2\frac{dx}{(1+x^2{)}^2}$$
とおく（積分は $\mathbb{R}$ 上のルベーグ測度に関するもの、$\log$ は自然対数）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ の値を求めよ。

直交座標 $(x,y,z)$ をとる。厚さ $2a$ の平板状のプラズマが領域 $|x|<a$ にあり、$y,z$ 方向には一様に無限に広がっている。$|x|>a$ は真空である。プラズマは静止した理想 MHD 平衡 $\mathbf{J}\times \mathbf{B}=\nabla p$ にあり、磁場は $z$ 成分だけをもち $x$ だけの関数 $\mathbf{B}=B(x)\hat{\mathbf{z}}$（$B(x)>0$）である。真空領域 $|x|>a$ の磁場は一様で $B(x)=B_0$（$B_0>0$）である。

プラズマの圧力は
$$p(x)=p_0\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)(|x|<a),p(x)=0(|x|\geqq a)$$
であり、中心でのベータ値 ${\beta }_0=\frac{2{\mu }_0{p}_0}{B_0^2}$ は ${\beta }_0=\frac{3}{4}$ である（${\mu }_0$ は真空の透磁率）。

プラズマがない（領域全体の磁場が $B_0$ である）場合と比べて、プラズマの反磁性によって、$xy$ 平面内の帯状の領域 $-a\leqq x\leqq a$、$0\leqq y\leqq 1$ を貫く磁束がどれだけ減少しているか、その減少量を $B_0$ と $a$ を用いて求めよ。ただし $y$ は長さの単位で測るものとし、答えは自然対数を含む正確な形で書くこと。

広義積分
$$I={\int }_0^1\frac{x^4}{(1-x^3{)}^{2/3}}dx$$
は収束する。$I$ の値を求めよ。ただし答えはガンマ関数やベータ関数を用いずに、根号と $\pi$ を用いて表せ。

$a$ を正の実数とする。広義積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx$$
は収束し、その値が $\frac{\pi \log a}{2a}$ であることを証明せよ。ただし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であること、および「区間上で $0\le f(x)\le g(x)$ を満たす連続関数 $f,g$ について、$g$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」こと（比較判定法）、「$|f|$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」ことは用いてよい。

$[0,\infty )$ 上の関数 $h$ が指数位数であるとは、定数 $K>0$ と実数 $\alpha$ があって、すべての $t\ge 0$ で $|h(t)|\le K{e}^{\alpha t}$ が成り立つことをいう（このとき $\beta \ge \alpha$ を満たす任意の実数 $\beta$ についても $|h(t)|\le K{e}^{\beta t}$ が成り立つ）。$h$ のラプラス変換を $\mathcal{L}[h](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}h(t)dt$（$s$ は実数）、$[0,\infty )$ 上の関数 $g,h$ の畳み込みを $(g\ast h)(t)={\int }_0^{t}g(t-\tau )h(\tau )d\tau$ と定める。

$M$ を正の実数とし、$f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ は連続で、すべての $t\ge 0$ に対して $|f(t)|\le M$ を満たすとする。$y:[0,\infty )\to \mathbb{R}$ は 2 回微分可能（$t=0$ では右側微分）で $y^{\prime \prime }$ が連続であり、$y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ はいずれも指数位数で、
$$y^{\prime \prime }(t)+2y^{\prime }(t)+y(t)=f(t)(t\ge 0),y(0)=0,y^{\prime }(0)=0$$
を満たすとする。このとき、すべての $t\ge 0$ に対して $|y(t)|\le M$ が成り立つことを、ラプラス変換を用いて証明せよ。

ただし、次の事実は用いてよい（$s$ は実数とする）。
- $(\mathrm{a})$ $h$ が連続で、ある $K>0$ と実数 $\alpha$ について $|h(t)|\le K{e}^{\alpha t}$ $(t\ge 0)$ のとき、$s>\alpha$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[h](s)$ を定める積分は収束する。また、$\mathcal{L}$ は線形である（$\mathcal{L}[h_1],\mathcal{L}[h_2]$ がともに存在する $s$ で $\mathcal{L}[c_1{h}_1+c_2{h}_2]=c_1\mathcal{L}[h_1]+c_2\mathcal{L}[h_2]$）。
- $(\mathrm{b})$ $y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$ が連続で、ある共通の $K>0$ と実数 $\alpha$ についていずれも $K{e}^{\alpha t}$ で抑えられるとき、$s>\alpha$ で $\mathcal{L}[y^{\prime }]=s\mathcal{L}[y]-y(0)$、$\mathcal{L}[y^{\prime \prime }]=s^2\mathcal{L}[y]-sy(0)-y^{\prime }(0)$。
- $(\mathrm{c})$（畳み込み定理）$g,h$ が連続で指数位数ならば、$g\ast h$ も連続で指数位数であり、ある実数 $s_1$ があって $s>s_1$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[g\ast h](s)=\mathcal{L}[g](s)\mathcal{L}[h](s)$。
- $(\mathrm{d})$（ラプラス変換の一意性）連続で指数位数の $h_1,h_2$ について、ある実数 $s_0$ があって $s>s_0$ のすべての $s$ で $\mathcal{L}[h_1](s)=\mathcal{L}[h_2](s)$ ならば、$[0,\infty )$ 上で $h_1=h_2$。

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。$${\int }_{-1}^1\frac{\log (1+x^2)}{1+e^x}dx$$

次の定積分の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。$${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{x}{(\sin x+\cos x{)}^2}dx$$

広義積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{3}x}{x^2}dx$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{(n+1)2^n}$$
の値を求めよ。

座標空間の立体
$$V=\{(x,y,z)\mid (x^2+y^2+z^2{)}^2\le 2xyz\}$$
の体積を求めよ。

広義積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log \left(x^2+9\right)}{x^2+4}dx$$ の値を求めよ。

$xy$ 平面上の曲線 $C$ を、楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ のうち $y\ge 0$ の部分とし、点 $\mathrm{A}(2,0)$ から点 $\mathrm{B}(-2,0)$ へ向かう向きをつける。このとき、線積分
$$I={\int }_C\left(e^x\sin y-2y+x^2\right)dx+\left(e^x\cos y+x^3\right)dy$$
の値を求めよ。

$xyz$ 空間の原点を除いた領域で定義されたベクトル場
$$\mathbf{F}(x,y,z)=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}{|}^3}=\frac{(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}$$
と、平面 $z=2$ 上の長方形
$$S=\{(x,y,2)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 2\}$$
を考える。$S$ の単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ を $z$ 軸の正の向き $\mathbf{n}=(0,0,1)$ にとるとき、$\mathbf{F}$ の $S$ を通る流束
$$\Phi ={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS$$
を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ における作用素 $L=-\Delta +1$ を考える（$\Delta$ はラプラシアン、$|\cdot |$ はユークリッドノルム）。超関数の意味で
$$(-\Delta +1)\Phi ={\delta }_0({\mathbb{R}}^3\text{ 上})$$
をみたし、$x\ne 0$ で $|x|$ のみに依存し、かつ $|x|\to \infty$ で $\Phi (x)\to 0$ となる関数 $\Phi$ を $L$ の基本解とする。ここで ${\delta }_0$ は原点におけるディラックのデルタである。

$B=\{y\in {\mathbb{R}}^3\mid |y|<1\}$ の定義関数を $f={\chi }_B$ とし、
$$u(x)={\int }_{{\mathbb{R}}^3}\Phi (x-y)f(y)dy(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
と定める。$u(2,0,0)$ の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定め、これを $L^2(\mathbb{R})$ 上のフーリエ・プランシュレル変換に拡張する。このとき、$f,g\in L^2(\mathbb{R})$ に対してパーセバルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
が成り立つ。

$g(x)=\frac{1}{\cosh x}$ のフーリエ変換 $\hat{g}$ を求め、パーセバルの等式を用いて、広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin x}{x\cosh x}dx$$
の値を求めよ。ただし、被積分関数の $x=0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。答えは $\arctan$ と $e$ と $\pi$ を用いた閉じた形で表せ。

SI 単位系で考える。真空中を、電荷 $q(q>0)$ の点電荷が $x$ 軸上を一定の速さ $v(0<v<c)$ で $+x$ 方向に運動している。時刻 $t$ における点電荷の位置は $(vt,0,0)$ である。$c$ は真空中の光速、${ϵ}_0$ は真空の誘電率とする。