微分積分の問題

収束の確認

$x\to +0$ では $\frac{{\sin }^{3}x}{x^2}\sim x\to 0$ なので、$x=0$ の近くに問題はない。また $\left|\frac{{\sin }^{3}x}{x^2}\right|\le \frac{1}{x^2}$ であり ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}$ は収束するから、$I$ は(絶対)収束する。

部分積分

$0<\epsilon <R$ として $[\epsilon ,R]$ 上で部分積分すると
$${\int }_{\epsilon }^R\frac{{\sin }^{3}x}{x^2}dx={\left[-\frac{{\sin }^{3}x}{x}\right]}_{\epsilon }^R+{\int }_{\epsilon }^R\frac{3{\sin }^{2}x\cos x}{x}dx.$$
$\frac{{\sin }^3\epsilon }{\epsilon }\to 0(\epsilon \to +0)$、$\left|\frac{{\sin }^{3}R}{R}\right|\le \frac{1}{R}\to 0(R\to \infty )$ なので境界項は $0$ に収束する。

さらに
$${\sin }^{2}x\cos x=\frac{1-\cos 2x}{2}\cos x=\frac{1}{2}\left(\cos x-\frac{\cos 3x+\cos x}{2}\right)=\frac{\cos x-\cos 3x}{4}$$
より
$$I=\frac{3}{4}\underset{\epsilon \to +0,R\to \infty }{\lim }{\int }_{\epsilon }^R\frac{\cos x-\cos 3x}{x}dx.$$

フルラーニ型の積分の計算

第 2 項で $t=3x$ と置換すると ${\int }_{\epsilon }^R\frac{\cos 3x}{x}dx={\int }_{3\epsilon }^{3R}\frac{\cos t}{t}dt$ だから
$${\int }_{\epsilon }^R\frac{\cos x-\cos 3x}{x}dx={\int }_{\epsilon }^{3\epsilon }\frac{\cos t}{t}dt-{\int }_R^{3R}\frac{\cos t}{t}dt.$$

(i) 第 1 項:
$${\int }_{\epsilon }^{3\epsilon }\frac{\cos t}{t}dt={\int }_{\epsilon }^{3\epsilon }\frac{dt}{t}+{\int }_{\epsilon }^{3\epsilon }\frac{\cos t-1}{t}dt=\log 3+{\int }_{\epsilon }^{3\epsilon }\frac{\cos t-1}{t}dt.$$
$|\cos t-1|\le \frac{t^2}{2}$ より $\left|{\int }_{\epsilon }^{3\epsilon }\frac{\cos t-1}{t}dt\right|\le {\int }_{\epsilon }^{3\epsilon }\frac{t}{2}dt=2{\epsilon }^2\to 0$。よって第 1 項 $\to \log 3$。

(ii) 第 2 項: 部分積分して
$${\int }_R^{3R}\frac{\cos t}{t}dt={\left[\frac{\sin t}{t}\right]}_R^{3R}+{\int }_R^{3R}\frac{\sin t}{t^2}dt,$$
$$\left|{\int }_R^{3R}\frac{\cos t}{t}dt\right|\le \frac{1}{3R}+\frac{1}{R}+{\int }_R^{3R}\frac{dt}{t^2}=\frac{1}{3R}+\frac{1}{R}+\frac{2}{3R}=\frac{2}{R}\to 0.$$

したがって ${\int }_0^{\infty }\frac{\cos x-\cos 3x}{x}dx=\log 3$ であり、
$$I=\frac{3}{4}\log 3.$$

${\sin }^{3}x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}$ なので、$f(x)=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}={\sin }^{3}x$ とおく。$I={\int }_0^{\infty }f(x)x^{-2}dx$ を部分積分する。

$I={\left[-\frac{f(x)}{x}\right]}_0^{\infty }+{\int }_0^{\infty }\frac{f^{\prime }(x)}{x}dx$。

$x\to 0$ では $f\sim x^3$ なので $f(x)/x\to 0$。$x\to \infty$ では $|f|\le 1$ より $f(x)/x\to 0$。よって境界項は 0。

$f^{\prime }(x)=\frac{3\cos x-3\cos 3x}{4}$ より
$I=\frac{3}{4}{\int }_0^{\infty }\frac{\cos x-\cos 3x}{x}dx$。

フルラニの積分 ${\int }_0^{\infty }\frac{\cos ax-\cos bx}{x}dx=\log \frac{b}{a}$ に $a=1,b=3$ を代入して $\log 3$。

（別証: ${\int }_{\epsilon }^{\infty }\frac{\cos x}{x}dx-{\int }_{\epsilon }^{\infty }\frac{\cos 3x}{x}dx={\int }_{\epsilon }^{3\epsilon }\frac{\cos t}{t}dt\to \log 3$。）

ゆえに $I=\frac{3}{4}\log 3\approx 0.824$。

検算: 被積分関数は $x\to 0$ で $\sim x$、大きい $x$ では $1/x^2$ 程度で、積分値 0.82 は妥当な大きさである。