合成関数の微分

関数 $$f(x)=(x^2-3{)}^4$$ について、$f^{\prime }(2)$ の値を求めよ。ただし、$x$ は実数とする。

実数全体で定義された関数 $$f(x)=(x^2+x-1{)}^5$$ について、$f^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $$f(x)=(x^2+2x-1{)}^4$$ について、微分係数 $f^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $$y=(x^2+1{)}^x$$ について、$x=1$ における微分係数を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。

関数 $f(x)=(x+1)e^{-x}$ のグラフの変曲点の座標を求めよ。

関数 $y=(x+1)e^{-x}$ のグラフについて、増減と凹凸を調べ、このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

関数 $y=x{e}^{-x}$ の増減、グラフの凹凸、漸近線を調べて、グラフの概形をかきたい。このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底であり、必要ならば $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{e^x}=0$ を用いてよい。

連続な関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ について
$${\int }_0^{x}f(t)dt=x^3+\sin 2x$$
を満たしている。$f(x)$ を求めよ。

曲線 $$y=\frac{1}{3}{\left(x^2+2\right)}^{\frac{3}{2}}(0\leqq x\leqq 3)$$ の長さ $L$ を求めよ。

関数 $f(x)=e^{2x}$ のマクローリン展開を
$$e^{2x}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+\cdots$$
とする。ただし $x$ は実数である。$x^4$ の係数 $a_4$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=\log (1+x)$ $(x>-1)$ について、$x=0$ における 3 次のテイラー多項式（マクローリン多項式）
$$P_3(x)=\sum _{k=0}^3\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

関数 $f(x)=\log (1+2x)$ $\left(x>-\frac{1}{2}\right)$ のマクローリン展開
$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots$$
における $x^3$ の係数 $a_3$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

広義積分
$$I={\int }_0^3\frac{dx}{\sqrt{3-x}}$$
は収束する。その値を求めよ。

区間 $0\leqq x\leqq 1$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、つねに $y(x)>0$ を満たし、微分方程式
$$y^{\prime }+y=e^x{y}^2$$
と初期条件 $y(0)=\frac{1}{2}$ を満たすとする。このとき $y(1)$ の値を求めよ。

$A,k$ を実数の定数とし、実数 $x$ と $t\geqq 0$ に対して
$$u(x,t)=A{e}^{-kt}\sin 3x$$
とおく。この関数 $u$ が、熱方程式（2 階線形偏微分方程式）
$$u_t=2u_{xx}$$
と初期条件
$$u(x,0)=5\sin 3x(x\text{ は任意の実数})$$
をともに満たすとき、$A,k$ の値を組 $(A,k)$ の形でこの順に求めよ。

確率変数 $Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとする。すなわち $Z$ の確率密度関数は
$$\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}(-\infty <z<\infty )$$
である。ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を用いてよい。このとき、$Z$ の 4 次の積率 $E(Z^4)$ を求めよ。

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& (x\geqq 0)\\ 0& (x<0)\end{array}$$
で与えられている。$Y=\sqrt{X}$ とおくとき、$y>0$ における $Y$ の確率密度関数 $f_Y(y)$ を $y$ の式で求めよ。

関数 $f(x)=x^2{e}^{-x}$ について、曲線 $y=f(x)$ が上に凸となる $x$ の範囲を求めよ。ここでは、$f^{\prime \prime }(x)<0$ を満たす $x$ の範囲を答えるものとする。

関数 $f(x)=e^{2x}\sin x$ について、すべての実数 $x$ に対して
$$f^{\prime \prime }(x)-a{f}^{\prime }(x)+bf(x)=0$$
が成り立つような定数 $a,b$ の値を求めよ。答えは組 $(a,b)$ の形で答えよ。

関数 $f(x)=x^3+x$ の逆関数を $g(x)$ とする。関数
$$h(x)=\frac{\{g(x){\}}^2}{x}(x>0)$$
について、$h^{\prime }(10)$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=(x^2-2)e^{-x}$ について、$f^{\prime }(x)<0$ かつ $f^{\prime \prime }(x)>0$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めよ。これは、$f(x)$ が減少していて、しかも曲線 $y=f(x)$ が下に凸になっている範囲である。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$
を考える。合成関数 $h(x)=f(f(x))$ について、$h^{\prime }(2)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=x^{\sin x}$$
について、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x^3{e}^{-x}$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。曲線 $y=f(x)$ の変曲点の $x$ 座標をすべて求めよ。

確率変数 $X$ の確率密度関数が
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-x/2}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で与えられている。$Y=\sqrt{X}$ とおくとき、$y>0$ における $Y$ の確率密度関数 $g(y)$ を $y$ の式で表せ。

確率変数 $X$ の積率母関数が
$$M_X(t)=E[e^{tX}]=\frac{1}{(1-2t{)}^3}\left(t<\frac{1}{2}\right)$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

確率変数 $X$ の積率母関数が
$$M_X(t)=E\left[e^{tX}\right]=\frac{1}{(1-2t{)}^3}\left(t<\frac{1}{2}\right)$$
で与えられている。$X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

${\mathbb{R}}^2$ の座標を $(x,y)$ とし、リーマン計量
$$g=(1+x^2+y^2)(d{x}^2+d{y}^2)$$
を考える。$({\mathbb{R}}^2,g)$ のガウス曲率（断面曲率）を $K$ とするとき、点 $(1,1)$ における $K$ の値を求めよ。ただし、単位球面のガウス曲率が $1$ となる符号の規約を用いる。

$u=u(x,t)$ に対する非粘性バーガース方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=0(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=\frac{1}{1+x^2}(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$T>0$ に対し、$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上で $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T$ の上限を $T^{\ast }$ とする。$T^{\ast }$ を求めよ。

$t\ge 0$ で定義された関数 $f(t)=\sin t$, $g(t)=\cos t$ の畳み込みを
$$h(t)=(f\ast g)(t)={\int }_0^{t}f(t-u)g(u)du={\int }_0^t\sin (t-u)\cos udu$$
で定める。ラプラス変換 $\mathcal{L}[f](s)={\int }_0^{\infty }{e}^{-st}f(t)dt$ の畳み込み定理 $\mathcal{L}[f\ast g]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]$ を用いて、$h(t)$ を $t$ の式で表せ。

$I$ を $\mathbb{R}$ の開区間とし、$y:I\to \mathbb{R}$ は微分可能な関数で、すべての $t\in I$ に対して $y(t)>0$ かつ
$$y^{\prime }(t)=y(t)-y(t{)}^3$$
を満たすとする。このとき、ある実数の定数 $C$ が存在して、すべての $t\in I$ に対して $e^{2t}+C>0$ かつ
$$y(t)=\frac{e^t}{\sqrt{e^{2t}+C}}$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、解の存在と一意性の定理は用いずに示すこと。

正の定数 $a,b,c,d$ に対し、ロトカ・ヴォルテラ方程式
$$x^{\prime }(t)=x(t)(a-by(t)),y^{\prime }(t)=y(t)(-c+dx(t))$$
を考える。$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0\}$ とし、$D$ 上の関数
$$V(x,y)=dx-c\log x+by-a\log y$$
を定める。また $p=\frac{c}{d},q=\frac{a}{b}$ とおく。

区間 $J$ 上で定義された微分可能な解 $(x(t),y(t))$ で、すべての $t\in J$ について $(x(t),y(t))\in D$ を満たすものを考える。このとき、$V(x(t),y(t))$ は $t\in J$ によらず一定であり、さらに $D$ 上で $V(x,y)\ge V(p,q)$ が成り立ち、等号は $(x,y)=(p,q)$ のときに限ることを証明せよ。

$a<b$, $c<d$ を実数とし、$I=[a,b]$, $J=[c,d]$ とおく（どちらも長さが正の有界閉区間）。$f:I\to I$, $g:J\to J$ を $C^1$ 級写像とする（区間の端点では片側微分を考える）。$h:I\to J$ は $C^1$ 級写像で、すべての $x\in I$ に対して $h^{\prime }(x)\ne 0$ であり、
$$h\circ f=g\circ h$$
を満たすとする。長さが正の有界閉区間 $K$ 上の $C^1$ 級写像 $\phi :K\to K$ と $x\in K$ に対し、$x$ における $\phi$ のリャプノフ指数を
$${\lambda }_{\phi }(x)=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{n}\log \left|({\phi }^n{)}^{\prime }(x)\right|\in [-\infty ,\infty ]$$
で定める。ただし $n$ は正の整数、${\phi }^n$ は $\phi$ の $n$ 回合成で、$\log 0=-\infty$ と約束する。

すべての $x\in I$ に対して ${\lambda }_g(h(x))={\lambda }_f(x)$ が成り立つことを証明せよ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\tanh x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上でこの初期値問題の $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T>0$ の上限を $T^{\ast }$ とする。特性曲線の方法を用いて $T^{\ast }$ を求めよ。

関数 $f(x)=x^3+2x-1$ （$x$ は実数）の逆関数を $g(x)$ とする。また、$x\ne 0$ である実数 $x$ に対して
$$h(x)=\frac{g(x^2+1)}{x}$$
と定める。$h^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x^3+2x+3$ の逆関数を $g(x)$ とする。さらに、$x>0$ において関数 $h(x)$ を
$$h(x)=\frac{g(x^2+2)}{x}$$
で定める。このとき、$h^{\prime }(2)$ の値を求めよ。

$k$ を正の実数の定数とする。座標平面上の点 $\mathrm{A}(0,k)$ から双曲線 $$x^2-\frac{y^2}{3}=1$$ に 2 本の接線を引き、その接点を $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ とする。$k$ が正の実数全体を動くとき、三角形 $\mathrm{APQ}$ の面積の最小値を求めよ。

関数 $$f(x)=e^{\cos x}\sin x(0\leqq x\leqq \pi )$$ の最大値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底とする。

曲線 $C:y=e^{-x}$ 上の点 $\mathrm{P}(t,e^{-t})$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。ただし、$t$ は正の実数とし、$e$ は自然対数の底とする。$\ell$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{Q}$、$\ell$ と $y$ 軸の交点を $\mathrm{R}$、原点を $\mathrm{O}$ とする。$t$ が正の実数全体を動くとき、三角形 $\mathrm{OQR}$ の面積の最大値を求めよ。

関数 $$f(x)={\sin }^{3}x\cos x\left(0\leqq x\leqq \frac{\pi }{2}\right)$$ の最大値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log (1+x^2)}{x^2}dx$$
の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\log \left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx$$
の値を求めよ。

確率変数 $X,Y$ は互いに独立で、$X$ は確率密度関数 $2e^{-2x}(x>0)$、$Y$ は確率密度関数 $e^{-y}(y>0)$ をもつ（いずれも $0$ 以下では密度 $0$）。$W=\frac{X}{Y}$ とおくとき、$w>0$ における $W$ の確率密度関数 $g(w)$ を $w$ の式で表せ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\arctan x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。特性曲線の方法により、この問題は十分小さい $T>0$ に対して $\mathbb{R}\times [0,T)$ 上で $C^1$ 級の解（古典解）をただ 1 つもつ。
$$T^{\ast }=\sup \{T>0\mid \mathbb{R}\times [0,T)\text{ 上で }{C}^1\text{ 級の解が存在する}\}$$
とおくとき、$T^{\ast }$ を求めよ。ただし $T^{\ast }=\infty$ となる場合は $\infty$ と答えよ。

複素平面の二つの開円板の共通部分として得られるレンズ形の領域
$$D=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1,|z-1|<1\}$$
を考える。$D$ は単連結な領域であり、リーマンの写像定理により、全単射な正則写像 $\phi :D\to \mathbb{D}$（$\mathbb{D}=\{w\in \mathbb{C}\mid |w|<1\}$）で
$$\phi \left(\frac{1}{2}\right)=0,{\phi }^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)>0$$
を満たすものがただ一つ存在する。${\phi }^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)$ の値を求めよ。

$I\subset \mathbb{R}$ を空でない開区間とし、汎関数
$$J[y]=\int \sqrt{y}\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$
のラグランジアン $L(y,p)=\sqrt{y}\sqrt{1+p^2}$（$y>0$, $p\in \mathbb{R}$ で定義する）を考える。$y\in C^2(I)$ が $I$ 上で $y(x)>0$ を満たし、オイラー・ラグランジュ方程式
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial p}(y(x),y^{\prime }(x))\right)=\frac{\partial L}{\partial y}(y(x),y^{\prime }(x))(x\in I)$$
を満たすとする。このとき、定数 $c>0$ と $b\in \mathbb{R}$ が存在して、すべての $x\in I$ で
$$y(x)=c+\frac{(x-b{)}^2}{4c}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、常微分方程式の解の一意性定理（$F(y,p)$ が開集合 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上で $C^1$ 級のとき、$y^{\prime \prime }=F(y,y^{\prime })$ の区間 $I$ 上の 2 つの $C^2$ 級解 $y,\tilde{y}$ が、$(y,y^{\prime }),(\tilde{y},{\tilde{y}}^{\prime })$ ともに $I$ 上で $D$ に値をとり、ある $x_0\in I$ で $(y(x_0),y^{\prime }(x_0))=(\tilde{y}(x_0),{\tilde{y}}^{\prime }(x_0))$ を満たすならば、$I$ 上で $y=\tilde{y}$）は用いてよい。

$x\geqq 0$ で定義された関数 $f(x)$ は $2$ 回微分可能で、$f(0)=1$ であり、$x>0$ で $f^{\prime }(x)>0$ を満たす。曲線 $C:y=f(x)$ 上のどの点 $\mathrm{P}(t,f(t))$ $(t\geqq 0)$ についても、点 $\mathrm{M}(t,0)$ と、$\mathrm{P}$ における $C$ の接線との距離が $1$ であるという。$f(\log 2)$ の値を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{(n+1)2^n}$$
の値を求めよ。

次の無限級数の和 $S$ を求めよ。
$$S=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{1}{(3n+1{)}^3}-\frac{1}{(3n+2{)}^3}\right)$$
ただし $n$ は $0$ 以上の整数を動く。答えは円周率 $\pi$ と根号を用いて表せ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=x+\log (1+x^2)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数である。$f(x)$ は実数全体で単調に増加するので、逆関数 $g(x)$ をもつ。このとき、$g^{\prime \prime }(2+\log 5)$ の値を求めよ。

曲線 $C:y=\frac{1}{1+x^2}$ と、$y$ 軸上の点 $\mathrm{A}(0,b)$ を考える。ただし $b$ は実数の定数とする。点 $\mathrm{A}$ を通る $C$ の接線がちょうど $4$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=(x^2+a)e^{-x}$$
を考える。$x>0$ において $f(x)$ が極値をちょうど $1$ つもち、かつ曲線 $y=f(x)(x>0)$ が変曲点をちょうど $2$ つもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

曲線 $C:y=(\log x{)}^2(x\geqq 1)$ を考える。ただし、対数は自然対数とする。原点 $\mathrm{O}$ から曲線 $C$ に引いた接線のうち、$x$ 軸と異なるものを $\ell$ とする。曲線 $C$、直線 $\ell$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

関数 $f(x)=x^2{e}^{2x}$（$x$ は実数）を考える。正の整数 $n$ に対して、$f(x)$ の第 $n$ 次導関数を $f^{(n)}(x)$ で表す。方程式 $f^{(n)}(x)=0$ は異なる $2$ つの実数解をもつ。それらを ${\alpha }_n,{\beta }_n({\alpha }_n<{\beta }_n)$ とするとき、${\beta }_n-{\alpha }_n$ を $n$ の式で表せ。

$a$ を $a>1$ を満たす定数とし、実数全体で定義された関数
$$f(x)=x-a\log (1+x^2)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$a>1$ のとき、$f(x)$ は極大値と極小値をちょうど $1$ つずつもつ。$f(x)$ の極大値から極小値を引いた差が $\frac{2}{e}$ となるような $a$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数
$$f(x)=\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$f(x)$ を $7$ 回微分して得られる第 $7$ 次導関数を $f^{(7)}(x)$ と表すとき、$f^{(7)}(0)$ の値を求めよ。

次の定積分の値を求めよ。$${\int }_{\frac{5}{4}}^{\frac{5}{3}}\log \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)dx$$ ただし、$\log$ は自然対数を表す。

座標平面上の曲線
$$C:y=\log \frac{e^x+1}{e^x-1}(x>0)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。曲線 $C$ のうち、$\log 2\leqq y\leqq \log 3$ を満たす部分の長さ $L$ を求めよ。

$a$ を $0$ でない実数の定数とし、実数全体で定義された関数
$$f(x)=(x^2+ax+1)e^{-x}$$
を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$f(x)$ の極小値を $m(a)$ とする。$a$ が $0$ でない実数全体を動くとき、$m(a)$ の最大値を求めよ。

$x>\frac{1}{e}$ で定義された関数 $$f(x)=x^x$$ を考える。ただし、$e$ は自然対数の底とする。$f(x)$ は $x>\frac{1}{e}$ で単調に増加するので逆関数をもつ。その逆関数を $g(x)$ とするとき、$g(x)$ の第 $3$ 次導関数 $g^{\prime \prime \prime }(x)$ の $x=1$ における値 $g^{\prime \prime \prime }(1)$ を求めよ。

$a$ を正の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $$\log (1+x)>\frac{x}{1+ax}$$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲面
$$S=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|z=e^{-(x^2+y^2)}\right\}$$
に ${\mathbb{R}}^3$ の標準内積から誘導される計量を入れ、$S$ のガウス曲率を $K$、面積要素を $dA$ とする。正の実数 $R$ に対して $D_R=\{(x,y,z)\in S\mid x^2+y^2\le R^2\}$ とおき、
$$I(R)={\int }_{D_R}KdA$$
と定める。$R$ が正の実数全体を動くときの $I(R)$ の最大値を求めよ。

${\mathbb{R}}^3$ における波動方程式の初期値問題
$$u_{tt}=\Delta u(x\in {\mathbb{R}}^3,t>0),u(x,0)=e^{-|x{|}^2},u_t(x,0)=0(x\in {\mathbb{R}}^3)$$
を考える。ここで $\Delta$ は $x=(x_1,x_2,x_3)$ に関するラプラシアン、$|x|$ はユークリッドノルムであり、$u$ はこの問題のただ 1 つの $C^2$ 級の解とする。原点での値 $u(0,t)$ の $t>0$ における最小値を求めよ。

$2$ つの危険資産 $C_1,C_2$ と安全資産がある。危険資産の $1$ 期間の収益率をそれぞれ確率変数 $R_1,R_2$ とし、
$$E[R_1]=0.08,E[R_2]=0.12,\mathrm{Var}(R_1)=0.04,\mathrm{Var}(R_2)=0.09,\mathrm{Cov}(R_1,R_2)=0.012$$
とする。安全資産の $1$ 期間の収益率は確定値 $r_f=0.04$ である。

危険資産だけからなるポートフォリオで、$C_1,C_2$ への投資比率を $w_1,w_2$（$w_1+w_2=1$、$w_1,w_2$ は実数で、空売りも許す）とし、その収益率を $R_p=w_1{R}_1+w_2{R}_2$ とする。$E[R_p]>r_f$ を満たすもののうち、シャープ比
$$\frac{E[R_p]-r_f}{\sqrt{\mathrm{Var}(R_p)}}$$
を最大にするポートフォリオ（接点ポートフォリオ）の投資比率 $w_1,w_2$ を、組 $(w_1,w_2)$ の形でこの順に求めよ。

関数 $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ が周期 $2\pi$ をもつとは、すべての実数 $t$ に対して $h(t+2\pi )=h(t)$ が成り立つことをいう。

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ を周期 $2\pi$ をもつ連続関数とする。微分方程式
$$y^{\prime \prime }(t)+3y^{\prime }(t)+2y(t)=f(t)(t\in \mathbb{R})$$
の解であって、$\mathbb{R}$ 上で 2 回微分可能かつ周期 $2\pi$ をもつ関数 $y$ が、ちょうど 1 つ存在することを証明せよ。ただし、解の存在と一意性の一般定理は用いずに示すこと。広義積分の基本的な性質（絶対収束すれば収束する、など）と微分積分学の基本定理は用いてよい。

$S>0$, $K>0$, $T>0$, $r\in \mathbb{R}$ を定数とする。標準正規分布の密度関数と分布関数を
$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\phi (u)du$$
とし、ボラティリティ $\sigma >0$ に対するヨーロピアン・コール・オプションのブラック・ショールズ価格を
$$C(\sigma )=S\Phi (d_1)-K{e}^{-rT}\Phi (d_2),d_1=\frac{\log (S/K)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で定める。$L=\max \{S-K{e}^{-rT},0\}$ とおくとき、写像 $\sigma \mapsto C(\sigma )$ は区間 $(0,\infty )$ から開区間 $(L,S)$ への全単射であることを証明せよ（すなわち、$(L,S)$ に属する各価格 $c$ に対して $C(\sigma )=c$ となるインプライド・ボラティリティ $\sigma >0$ がちょうど 1 つ存在し、$C$ の値はすべて $(L,S)$ に属する）。

ただし、$\Phi$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能で ${\Phi }^{\prime }=\phi$ であること、$\underset{x\to -\infty }{\lim }\Phi (x)=0$, $\underset{x\to \infty }{\lim }\Phi (x)=1$, $\Phi (0)=\frac{1}{2}$ であること、および平均値の定理・中間値の定理は用いてよい。

実数全体で定義された関数 $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$ を考える。$n$ を正の整数とし、$f(x)$ の第 $n$ 次導関数を $f^{(n)}(x)$ で表す。方程式 $f^{(n)}(x)=0$ の異なる実数解すべてについて、その $2$ 乗の和を $n$ の式で表せ。