複素解析・リーマン面の問題

$\alpha =e^{i\pi /3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ とおく。二つの円 $|z|=1$, $|z-1|=1$ の交点は $\alpha ,\bar{\alpha }$ である。$D$ の境界は、円 $|z|=1$ のうち点 $1$ を通る弧と、円 $|z-1|=1$ のうち点 $0$ を通る弧からなる。

(1) 扇形への写像. 一次分数変換
$$\zeta =S(z)=\frac{z-\alpha }{z-\bar{\alpha }}$$
は $\alpha \mapsto 0$, $\bar{\alpha }\mapsto \infty$ を満たすので、$\alpha ,\bar{\alpha }$ を通る二つの円をそれぞれ $0$ を通る直線に写し、$D$ の境界の二つの弧を原点から出る二本の半直線に写す。
$$S(1)=\frac{1-\alpha }{1-\bar{\alpha }}=\frac{\bar{\alpha }}{\alpha }=e^{-2\pi i/3},S(0)=\frac{-\alpha }{-\bar{\alpha }}=\frac{\alpha }{\bar{\alpha }}=e^{2\pi i/3}$$
より、二本の半直線は $\arg \zeta =\pm \frac{2\pi }{3}$ である。また
$$S\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\frac{1}{2}-\alpha }{\frac{1}{2}-\bar{\alpha }}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}i}{\frac{\sqrt{3}}{2}i}=-1$$
なので、$S(D)$ は $-1$ を含む側の扇形
$$S(D)=\left\{\zeta |\frac{2\pi }{3}<\arg \zeta <\frac{4\pi }{3}\right\}$$
である（開き角 $\frac{2\pi }{3}$。これは $D$ の頂点 $\alpha$ での内角に等しく、等角性と整合する）。

(2) 右半平面・単位円板へ. $\eta =-\zeta$ とおくと $\eta$ は扇形 $|\arg \eta |<\frac{\pi }{3}$ を動き、$z=\frac{1}{2}$ に $\eta =1$ が対応する。主枝で $t={\eta }^{3/2}$ とおくと、$t$ は右半平面 $\mathrm{Re}t>0$ を全単射に動き、$\eta =1$ に $t=1$ が対応する。さらに
$$w=\frac{t-1}{t+1}$$
は右半平面を $\mathbb{D}$ に写し、$t=1$ を $0$ に写す。これらの合成を $\psi$ とおくと、$\psi :D\to \mathbb{D}$ は全単射な正則写像で $\psi (\frac{1}{2})=0$ である。

(3) 微分係数. 連鎖律で $z=\frac{1}{2}$（$\zeta =-1,\eta =1,t=1$）における値を求める。
$$\frac{d\zeta }{dz}=\frac{(z-\bar{\alpha })-(z-\alpha )}{(z-\bar{\alpha }{)}^2}=\frac{\alpha -\bar{\alpha }}{(z-\bar{\alpha }{)}^2}=\frac{\sqrt{3}i}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}i}{-\frac{3}{4}}=-\frac{4i}{\sqrt{3}}$$
$$\frac{d\eta }{dz}=-\frac{d\zeta }{dz}=\frac{4i}{\sqrt{3}},\frac{dt}{d\eta }=\frac{3}{2}{\eta }^{1/2}=\frac{3}{2},\frac{dw}{dt}=\frac{2}{(t+1{)}^2}=\frac{1}{2}$$
よって
$${\psi }^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4i}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}i$$
である。

(4) 正規化. $\mathbb{D}$ の $0$ を固定する自己同型は回転だけなので、$\phi =-i\psi$ とすれば $\phi (\frac{1}{2})=0$ かつ ${\phi }^{\prime }(\frac{1}{2})=\sqrt{3}>0$ となる。条件を満たす写像は一意なので、これが求める $\phi$ であり、
$${\phi }^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{3}$$
である。

（検算: $D$ は $\frac{1}{2}$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の円板を含み、半径 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ の円板に含まれるので、シュワルツの補題より $\frac{2}{\sqrt{3}}\le {\phi }^{\prime }(\frac{1}{2})\le 2$ となる。$\sqrt{3}$ はこの範囲に入っている。）

二つの円 $|z|=1$, $|z-1|=1$ の交点は $a=e^{i\pi /3}$, $b=e^{-i\pi /3}$ で、レンズ $D$ の頂点での内角は $2\pi /3$。

1. $\zeta =\frac{z-a}{z-b}$ により $a\mapsto 0$, $b\mapsto \infty$ となり、$D$ は原点を頂点とする角度 $2\pi /3$ の角領域に写る。$z=\frac{1}{2}$ では ${\zeta }_0=\frac{-i\sqrt{3}/2}{i\sqrt{3}/2}=-1$。角領域は負の実軸に関して対称なので、$u=-\zeta$ とすると $D$ は $|\arg u|<\pi /3$ に写り、$z=\frac{1}{2}\mapsto u=1$。
2. $v=u^{3/2}$（主枝）で $|\arg v|<\pi /2$、すなわち右半平面に写り、$u=1\mapsto v=1$。
3. $w=\frac{v-1}{v+1}$ で右半平面は単位円板 $\mathbb{D}$ に写り、$v=1\mapsto w=0$。

よって $\psi (z)=\frac{v-1}{v+1}$ は $D\to \mathbb{D}$ の全単射正則写像で $\psi (1/2)=0$。求める $\phi =e^{i\theta }\psi$（$\theta$ は ${\phi }^{\prime }(1/2)>0$ となるように選ぶ）。

導関数（$z=\frac{1}{2}$ で）:
- $\frac{dw}{dv}=\frac{2}{(v+1{)}^2}=\frac{1}{2}$
- $\frac{dv}{du}=\frac{3}{2}{u}^{1/2}=\frac{3}{2}$
- $\frac{du}{dz}=-\frac{(z-b)-(z-a)}{(z-b{)}^2}=-\frac{a-b}{(z-b{)}^2}$。$a-b=i\sqrt{3}$, $(z-b{)}^2=(i\sqrt{3}/2{)}^2=-\frac{3}{4}$ より $\frac{du}{dz}=\frac{4i}{\sqrt{3}}$。

積: ${\psi }^{\prime }(1/2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4i}{\sqrt{3}}=i\sqrt{3}$。$|{\psi }^{\prime }(1/2)|=\sqrt{3}$ で、回転 $e^{i\theta }=-i$ をかけて ${\phi }^{\prime }(1/2)=\sqrt{3}$。

検算: 共形半径 $1/{\phi }^{\prime }(1/2)=1/\sqrt{3}\approx 0.577$ は、$1/2$ から境界までの距離 $1/2$ 以上で、コーベの $1/4$ 定理による上限 $4\cdot \frac{1}{2}=2$ 以下であり矛盾しない。また円板 $|z|<1$ への包含から、共形半径は $\frac{1}{2}$ を中心とする半径 $\frac{1}{2}$ の円板の共形半径 $\frac{1}{2}$ 以上になる点とも整合する。