極形式と積・商

複素数を極形式 $r (cos θ + i sin θ)$ で表し、積・商で絶対値と偏角がどう変わるかを使える

前提

複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）

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算数中学高校大学大学院

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特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）

説明

0 でない複素数を、原点からの距離（絶対値）と向き（偏角）を使って $r (cos θ + i sin θ)$ の形に書き直す技能です。この形を極形式といいます。極形式にすると、掛け算は「絶対値どうしを掛け、偏角どうしを足す」、割り算は「絶対値どうしを割り、偏角どうしを引く」だけで計算できます。複素数の積や商の計算、累乗、掛け算を回転として図形的にとらえる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

複素数 $z = a + bi$ （ $a, b$ は実数）を座標平面の点 $(a, b)$ に対応させます。複素数を点として表したこの平面を複素数平面と呼びます。原点 O からこの点までの距離 $r = a^{2} + b^{2}$ を $z$ の絶対値といい、 $∣ z ∣$ と書きます。 $z \neq = 0$ のとき、 $x$ 軸の正の向きから線分 O $z$ まで測った回転角 $θ$ を $z$ の偏角といいます。単位円による三角関数の定義から $a = r cos θ, b = r sin θ$ なので、 $z = r (cos θ + i sin θ)$ と書けます。偏角は $2 π$ の整数倍ずらしても同じ点を表すので、ふつうは $0 \leq θ < 2 π$ などの範囲で 1 つ選びます。 $z = 0$ の偏角は定めません。

$z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ 、 $z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$ を展開し、 $i^{2} = - 1$ を使って整理すると $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} {(cos θ_{1} cos θ_{2} - sin θ_{1} sin θ_{2}) + i (sin θ_{1} cos θ_{2} + cos θ_{1} sin θ_{2})}$ となります。かっこの中の実部と虚部は、加法定理の $cos (θ_{1} + θ_{2})$ と $sin (θ_{1} + θ_{2})$ そのものです。よって $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} {cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2})}$ となり、絶対値は掛け算、偏角は足し算になります。つまり $z_{2}$ を掛けることは、点を原点から $r_{2}$ 倍に拡大し、原点のまわりに $θ_{2}$ だけ回転させることにあたります。

商は、 $z_{2} \neq = 0$ （つまり $r_{2} > 0$ ）のときに考えます。 $w = \frac{r _{1}}{r _{2}} {cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sin (θ_{1} - θ_{2})}$ とおくと、上の積の公式から $w z_{2} = \frac{r _{1}}{r _{2}} \cdot r_{2} {cos θ_{1} + i sin θ_{1}} = z_{1}$ です。 $z_{2} \neq = 0$ なので $w z_{2} = z_{1}$ を満たす $w$ は $\frac{z _{1}}{z _{2}}$ ただ 1 つであり、 $w = \frac{z _{1}}{z _{2}}$ となります。したがって商では、絶対値は割り算、偏角は引き算になります。

手順

0 でない複素数 $z = a + bi$ の絶対値を求める： $r = a^{2} + b^{2}$
$cos θ = \frac{a}{r}, sin θ = \frac{b}{r}$ を両方とも満たす $θ$ を単位円で 1 つ選ぶ（例： $0 \leq θ < 2 π$ ）。これで極形式 $z = r (cos θ + i sin θ)$ が得られる
積は、絶対値を掛けて偏角を足す： $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} {cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2})}$
商は、割る数が 0 でないことを確かめてから、絶対値を割って偏角を引く： $\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} {cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sin (θ_{1} - θ_{2})}$
必要なら $cos$ 、 $sin$ の値を代入して $a + bi$ の形に戻す

例題

$α = 1 + i$ 、 $β = 2 (cos \frac{5}{12} π + i sin \frac{5}{12} π)$ のとき、積 $α β$ を $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で求めよ。

例題の解答

【手順1】 $α = 1 + i$ の絶対値は $∣ α ∣ = 1^{2} + 1^{2} = 2$ である。
【手順2】 $cos θ = \frac{1}{2}, sin θ = \frac{1}{2}$ を両方満たす $θ$ として $θ = \frac{π}{4}$ がとれる。よって $α = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ である。 $β$ はすでに極形式で、絶対値 $2$ 、偏角 $\frac{5}{12} π$ である。
【手順3】積の絶対値は $2 \times 2 = 22$ 、偏角は $\frac{π}{4} + \frac{5}{12} π = \frac{3}{12} π + \frac{5}{12} π = \frac{8}{12} π = \frac{2}{3} π$ である。よって $α β = 22 (cos \frac{2}{3} π + i sin \frac{2}{3} π)$ となる。
【手順5】 $cos \frac{2}{3} π = - \frac{1}{2}$ 、 $sin \frac{2}{3} π = \frac{3}{2}$ を代入すると、 $α β = 22 (- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = - 2 + 6 i$ となる。
（検算： $α β$ の絶対値は $(2)^{2} + (6)^{2} = 8 = 22$ で一致する。）

答え: $- 2 + 6 i$

よくある誤り

$1 - i$ を $2 (cos \frac{π}{4} - i sin \frac{π}{4})$ と書いて極形式だと思ってしまう誤り。極形式は必ず「 $cos θ + i sin θ$ 」の形でなければならない。正しくは $1 - i = 2 (cos \frac{7}{4} π + i sin \frac{7}{4} π)$ （偏角を $- \frac{π}{4}$ としてもよい）
$tan θ = \frac{b}{a}$ だけで偏角を決めてしまう誤り。たとえば $- 1 - i$ で $tan θ = 1$ から $θ = \frac{π}{4}$ とするのは間違い。 $cos θ = - \frac{1}{2}, sin θ = - \frac{1}{2}$ を両方満たす必要があり、正しくは $- 1 - i = 2 (cos \frac{5}{4} π + i sin \frac{5}{4} π)$
積で偏角を掛けたり、絶対値を足したりしてしまう誤り。たとえば $2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6}) \times 3 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ を絶対値 $5$ 、偏角 $\frac{π ^{2}}{18}$ とするのは間違い。正しくは絶対値 $2 \times 3 = 6$ 、偏角 $\frac{π}{6} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ で、積は $6 (cos \frac{π}{2} + i sin \frac{π}{2}) = 6 i$
$- 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$ を「絶対値 $- 2$ 、偏角 $\frac{π}{3}$ 」の極形式だと思ってしまう誤り。0 でない複素数の絶対値 $r$ は必ず $r > 0$ である。正しくは $- 1 = cos π + i sin π$ を掛けたと考えて偏角に $π$ を足し、 $2 (cos \frac{4}{3} π + i sin \frac{4}{3} π)$ と直す

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）
複素数と図形（回転・相似）（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
周波数応答のゲインと位相（大学院数学制御理論）
フェーザ表示と複素インピーダンス（大学物理電気回路）